День научного творчества студентов МГУ 2 марта 2003г.
Геологический факультет. Тезисы докладов

Аналитическое решение задачи о расчете потенциала электрического поля точечного источника на поверхности градиентно-слоистой среды

Князев Данил Игоревич

Кафедра геофизики, III курс

Научный руководитель: Горбунов Александр Александрович

В природе часто встречаются геоэлектрические разрезы с переходными зонами, в которых УЭС с глубиной изменяется. Это можно  наблюдать весьма часто: в корах выветривания, в зонах аэрации, в тало-мерзлотной зоне, в «городских разрезах» и т.д.

Причины, по которым было бы полезным решить прямую задачу ВЭЗ для градиентной среды следующие: введение условия градиентности повысит устойчивость задачи при решении прикладных задач и интерпретация  геологических объектов значительно приблизится к реальности по сравнению с использованием модели однородной слоистой среды.

Большой вклад в исследование проблемы внес А.Д. Жигалин. Он рассмотрел решение прямой задачи ВЭЗ для случая трехслойного горизонтального разреза типа Н при непрерывном изменении проводимости промежуточного слоя. Для данной трехслойной модели записываются три уравнения для потенциальных функций, поочередно решая которые с использованием граничных условий, получаем выражение для потенциала в каждом слое.

Для решения нашей задачи за основу был взят алгоритм расчета электрического поля для однородной горизонтальной слоистой среды(ОГСС). Прежде всего, проанализируем решения для полупространства. Получив выражение для потенциала в случае полупространства, перейдем к модели градиентной горизонтальной слоистой среды(ГГСС). Привлекая дополнительные условия (равенство нулю потенциала в бесконечно удаленных точках, непрерывность потенциала и линий плотности тока на границах между слоями, удовлетворение потенциальных функций уравнению Лапласа, представление потенциала в первом слое, как сумму потенциала от источника и дополнительного потенциала, определяющего искажающее влияние границ раздела), получим окончательную формулу для потенциала на поверхности.

Таким образом, в решении прямой задачи ВЭЗ для ГГСС мы дошли до того же уровня, что и в ОГСС: было получено аналитическое решение для потенциального точечного потенциального источника на поверхности ГГСС.

Найденное решение можно использовать, как модель, в рамках которой ведется интерпретация. Эта модель может оказаться более близкой к действительности и более устойчивой (за счет сокращения подбираемых параметров) по сравнению с ОГСС.

Недостаткам этого решения можно назвать проблемы с вычислением интегралов от функций Бесселя, которые, как известно довольно медленно сходятся. При численной реализации метода этот вопрос требует отдельного исследования.

Используемая литература

1.Жигалин А.Д., Решение прямой задачи ВЭЗ для случая трехслойного горизонтального разреза типа Н при непрерывном изменении проводимости промежуточного слоя, Вестник Московский Государственный Университет N4, 1973г

2.Кириллов В.А., Котов И.А., Писарев С.А., Методические рекомендации по интерпретации для мерзлых градиентных сред в условиях северо-востока СССР,  СВПГО, Магадан, 1983

3.Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, 1984

4.Матвеев Б.К., Электроразведка при поисках полезных ископаемых, «Недра», Москва, 1982