Теория симметрии кристаллов

Глава III. Координатные системы, категории, сингонии

32 кристаллографические группы симметрии разбиваются на семейства - категории, каждая из которых характеризуется определенными соотношениями между координатными осями - степенью их эквивалентности. Координатные оси в кристаллах выбираются, как правило, по особым направлениям, т.е. осям симметрии (n), нормалям к плоскостям симметрии (), а при их отсутствии - по возможным или действительным ребрам кристаллических многогранников, совпадающим с трансляционными векторами пространственной решетки (с. 88). Три возможности соотношений этих параметров - a b c, a = b c и a = b = c - позволяют распределить кристаллографические координатные системы по трем категориям: низшей, средней и высшей соответственно.

Полная неэквивалентность координатных направлений (a b c) предполагает отсутствие осей симметрии высшего порядка. Таким образом, к низшей категории относятся следующие группы симметрии:

без особых направлений - 1 и ,

с одним особым направлением - 2, m (=), ,

с тремя особыми направлениями - 222, mm2, mmm.

В первом случае отсутствие особых направлений приводит к косоугольной системе самого общего вида: a b ? , ( где , , - углы между координатными осями YZ, XZ и XY соответственно).

Группы симметрии с единой координатной системой объединяются в одно семейство, называемое сингонией 1 (греч. (син) - вместе; (гониа) - угол). В данном случае косоугольная координатная система определила и ее название: триклинная (греч. (клинос) - косой угол).

Группа симметрии, содержащая лишь одно особое направление, характеризуется координатной системой с одним непрямым углом (углом между координатными осями, выбранными параллельно ребрам кристалла в плоскости, перпендикулярной единственному особому направлению). Отсюда название сингонии с такой координатной системой (a b c, = = 90^o , 90^o 120^o ) - моноклинная 2.

При наличии в группе симметрии трех особых направлений - а ими в низшей категории могут быть лишь поворотные или (и) инверсионные оси 2-го порядка - углы между координатными осями оказываются прямыми. В противном случае возникнут оси высшего порядка, характерные для иных категорий. Такая прямоугольная координатная система с параметрами a b c, = = = 90^o обслуживает группы ромбической 3 сингонии.

Условие эквивалентности двух координатных направлений (a = b c) в средней категории может быть выполнено лишь при наличии в группе симметрии единственной оси высшего порядка - главной оси группы, которую принято совмещать с вертикальной координатной осью Z. Две другие координатные оси - X и Y - выбирают по осям 2-го порядка, поворотным или инверсионным, а при их отсутствии - параллельно действительным или возможным ребрам кристаллов в плоскости, перпендикулярной главной оси. Таким образом, два угла координатной системы ( и ) оказываются прямыми, третий же угол ( ) между горизонтальными осями X и Y соответствует элементарному углу поворота главной оси: для оси 4-го порядка = 90^o , для осей 3-го и 6-го порядков g = 120^o . Различие углов g приводит к двум координатным системам, а следовательно, и к двум сингониям в средней категории: тетрагональной ( a = b c, = = = 90^o ) и гексагональной 4 ( a = b c, = = 90^o , = 120^o ).

При таком выделении двух сингоний в основу заложена единая координатная система; группы с осями 3-го и 6-го порядков попадают в одну - гексагональную - сингонию, которую, в свою очередь, можно подразделить на две подсингонии: тригональную, с главной осью 3-го (3 или ) и собственно гексагональную, с главной осью 6-го порядка (6 или ). Если же в основу выделения сингоний заложен такой формальный признак, как порядок главной оси, то в этом случае можно выделить как две самостоятельные гексагональную и тригональную сингонии, каждая из которых характеризуется определенным порядком главной оси (6 или 3 соответственно).

В литературе можно встретить описание кристаллов с единственной осью 3-го порядка в устаревшей установке Миллера: a = b = c, = = 90^o . Однако в этом случае координатные оси оказываются выбранными не по особым направлениям (как в общепринятой установке), а по ребрам кристаллов, равнонаклонным к оси 3.

Если точечная симметрия групп характеризуется наличием четырех осей 3-го порядка, то все три координатные оси, выбранные по особым направлениям, эквивалентны. При этом оси 3-го порядка оказываются равнонаклонны к выбранным координатным направлениям, что возможно лишь в прямоугольной координатной системе высшей категории с параметрами a = b = c, = = = 90^o кубической сингонии.

В классической кристаллографии в пределах каждой сингонии принято следующее деление групп симметрии в зависимости от их порядка (см. с. 28): голоэдрические - группы высшего порядка данной сингонии (название связано с числом граней общей простой формы кристаллов, максимальным для данного класса (от греч. (голо) - полный, весь; (эдра) - грань, отсюда и название групп высшего порядка данной сингонии: голоэдрия); остальные группы данной сингонии являются подгруппами голоэдрической группы; мероэдрические - группы пониженного порядка (греч.(мерос) - часть), которые подразделяются, в свою очередь, на гемиэдрические (греч. (геми) - половина) - группы с порядком вдвое меньшим, чем голоэдрические группы (гемиэдрия); тетартоэдрические - порядок понижен вчетверо ( (тетартос) - четвертый, четверть, тетартоэдрия); огдоэдрические группы с восьмикратно пониженным порядком (огдоэдрия).

Среди гемиэдрических групп выделяют: осевую гемиэдрию, т.е. подгруппу, содержащую только оси - элементы симметрии 1-го рода, гемиморфию, гемиморфную гемиэдрию - группы с единственной полярной осью, параморфию (параморфную гемиэдрию) - группы без элементов симметрии 2-й и 3-й позиций международного символа. Например, в тетрагональной сингонии группа 16-го порядка - голоэдрическая. Среди остальных мероэдрических (4mm, , 422, , , 4) можно выделить гемиморфную гемиэдрию - 4mm, осевую гемиэдрию - 422, параморфную гемиэдрию - и тетартоэдрические группы - и 4.