Эффект Харста в геофизике

Геовикипедия
wiki.web.ru

Поиск

Главная страница

Конференции: Календарь / Материалы

Каталог ссылок

Словарь

Форумы

В помощь студенту

Последние поступления

Геология >> Геоэкология | Популярные статьи

Обсудить в форуме

Добавить новое сообщение

В.И.Найденов (Институт водных проблем РАН),
И.А.Кожевникова (Механико-математический факультет МГУ)
Опубликовано в журнале "Природа", N 1, 2000 г.

Содержание

Другой возможный пример геофизического процесса, в котором может возникать эффект Харста, - циклоническая деятельность, способствующая межширотному обмену воздуха и служащая важнейшим элементом общей циркуляции атмосферы. Циклогенез (рождение и эволюция циклонов) существенно влияет и на погодные, и на гидрологические процессы в земной климатической системе. Экспериментальное выявление устойчивых статистических закономерностей глобального циклогенеза и возможной годовой и межгодовой эволюции этого процесса могло бы стать фундаментальной основой для создания физических моделей климата.
Недавние исследования, выполненные в Институте космических исследований РАН, дают основание полагать, что эффект Харста может возникать и в атмосферных процессах⁹.
Обработав временные ряды по тропическим циклонам над акваториями Северного и Южного полушарий за 1883-1997 гг., авторы этих работ доказали существование устойчивых пуассоновских законов распределения их интенсивности. Более того, оказалось, что числа одновременно действующих тропических циклонов на промежутке времени t составляют пуассоновский процесс с устойчивым параметром.
Для нас представляют большой интерес нелинейные процессы эволюции интенсивных вихревых возмущений в атмосфере. Хорошо известно, что продолжительность существования отдельного циклона сильно колеблется от нескольких дней до двух недель (иногда больше). Далее циклон может полностью разрушиться или попасть в более крупную атмосферную циркуляцию. Если предположить, что скорость диссипации циклона (выравнивание температурных градиентов и уменьшение водности) находится в степенной зависимости от времени, то в сочетании с пуассоновским характером циклогенеза это приводит к импульсному процессу, спектр которого похож на спектр "черного шума".

Модель дождей

Мы рассмотрели некоторые подходы к математическому объяснению эффекта Харста. Однако они не отвечали на вопрос: откуда может взяться степенная (медленная) релаксация динамической системы? А разобраться в этом явлении - значит построить простую физико-математичекую модель гидрологического процесса, демонстрирующую эффект Харста.
Обратимся к важным составляющим гидрологического цикла суши - осадкам и динамике влажности почвы.
Будем считать, что число дождей за интервал [t₀,t₀+T] подчиняется закону Пуассона (закону редких событий). Промежутки времени, разделяющие моменты выпадения дождей (последовательно наступающие события пуассоновского потока), - независимые случайные величины, имеющие распределение с параметром $\lambda$ (число дождей в сутки). Вероятность того, что продолжительность периода без дождя $t_{k+1}-t_k=\Delta_k$ меньше t, равна $P\{\Delta_k\lt t\}=1-{\rm e}^{-\lambda t}.$ Предположим, что период без дождя гораздо больше продолжительности дождя, что показывает, например, анализ гидрометеорологических наблюдений на Нижнедевицкой воднобалансовой станции (Воронежская обл.) за 28 лет¹⁰.
Представим количество осадков в виде суперпозиции простейших импульсов

$p(t)=\sum\limits_{k=1}^\infty q\delta(t-t_k),$

где q - количество осадков, выпадающих за один дождь, t - время, $\delta(t)$ - дельта-функция. Для такого процесса среднее $\overline{p(t)}=q\lambda,$ корреляционная функция $R(\tau)=q^2\lambda\delta(t),$ спектр $f(\omega)=2q^2\lambda.$ Таким образом, время памяти процесса осадков равно нулю, спектр на всех частотах постоянен и явление Харста отсутствует.

Динамика влажности почвы

После выпадения дождя объемная влажность почвы резко увеличивается. Дальнейшая судьба этой влаги такова: одна часть за счет процессов инфильтрации поступает в грунтовые воды, другая испаряется, третья образует поверхностный сток. Коэффициент инфильтрации (доля влаги осадков, перешедшая в грунтовые воды) для большинства водосборов основных рек России больше 0.6 (например, для бассейнов Оки - 0.85, Москвы - 0.79, Печоры - 0.66), поэтому процессы инфильтрации очень важны для понимания генезиса речного стока.

Рис. 5. Некоторые характеристики динамики влажности почвы: вверху - результат математического моделирования динамики как случайного процесса. Модельная зависимость похожа на беспорядочно "сшитые" куски всплесков в случайные моменты времени, с последующими спадами; в середине - плотность вероятности амплитуд влажности почвы, которая соответствует реализации, показанной на верхнем рисунке; внизу - поведение спектральной плотности этого процесса на низких частотах. Цветная прямая - линия регрессии между логарифмом спектра и логарифмом частоты; штриховые цветные - линии, ограничивающие доверительную область. Линия регрессии ограничивает область частот, для которой характерна степенная зависимость $f(\omega)\sim\omega^{0.72}.$ При низких частотах ( $\ln\omega<-4$ ) эффект Харста вырождается из-за линейной зависимости скорости испарения от влажности. Чем меньше скорость испарения по сравнению со скоростью инфильтрации, тем более протяженна область, где справедлив закон Харста.

Многочисленные натурные исследования показали линейную зависимость скорости испарения (транспирации) от влажности почвы в случае дерново-подзолистых суглинков, если на них выращивались тимофеевка, озимые рожь и пшеница¹¹.

Если составить уравнение водного баланса верхнего слоя почвы, то в левой части окажется скорость изменения влажности почвы, а в правой - сумма трех объемов влаги: выпадающей с осадками, испаряющейся и поступающей в грунтовые воды в единицу времени.
Процесс изменения влажности почвы, описанный этим уравнением, диссипативный (стекание воды и ее испарение) и существенно нелинейный, так как количество влаги, поступающей в грунтовые воды, определяется влагопроводностью, которая сама по себе является степенной функцией¹² влажности с показателем n~3-5. Количество испаряющейся влаги также зависит от влажности, но линейно. Физика нелинейных диссипативных систем обнаруживает большое разнообразие их поведения и свойств. Исследование данного процесса показало, что он способен объяснить и эффект Харста. Интегрирование уравнения водного баланса верхнего слоя почвы приводит к следующему импульсному процессу:

$\theta(t)=\sum\limits_{k=0}^\infty\theta_k\varphi(t-t_k),$

где $\varphi(t-t_k)$ - функция формы импульса, $\theta_k$ - относительные амплитуды процесса, зависящие от характеристик влажности и пористости почвы. Подробно эта процедура описана в наших статьях¹³.
Если скорость инфильтрации значительно превосходит скорость транспирации, спектр процесса, определенного уравнением водного баланса верхнего слоя почвы, расходится на низких частотах. Это явление объясняется сильной степенной зависимостью коэффициента влагопроводности от влажности, благодаря чему релаксация влажности после выпадения дождя к своему равновесному значению происходит очень медленно и спадает по степенному закону. Для функции формы импульса в качестве точного решения уравнения водного баланса в верхнем метровом слое почвы мы получили зависимость:

$\varphi(t)\sim t^{1/(1-n)}.$

Эта функция медленно убывает со временем, что приводит к расходимости спектра на низких частотах. Такая динамика влажности почвы и скорости инфильтрации соответствует многочисленным наблюдениям. Например, скорость инфильтрации, будучи высокой в начале дождя (6 см/ч), затем резко снижается (через 2 ч она уже 1.5 см/ч), далее этот темп замедляется и скорость инфильтрации следует зависимости t^-0.5.
Если отношение скорости испарения к скорости инфильтрации мало, спектр процесса имеет достаточно протяженный участок, на котором выполняется соотношение $f(\omega)\sim\omega^{-\alpha}$ (см. выше). Этот результат был получен, например, при $\alpha=0.72,$ $H=0.5(\alpha+1)=0.86.$ Если, наоборот, отношение скорости испарения к скорости инфильтрации велико, функция формы импульсного процесса приближается к экспоненте и эффект Харста "вырождается". Следовательно, в построенной модели влагопереноса нелинейный процесс инфильтрации способствует возникновению эффекта Харста; линейный процесс испарения разрушает его.

Характерная реализация паводочного режима с экспоненциальной формой гидрографа и ее корреляционная функция. Быстрое затухание корреляционной функции указывает на отсутствие эффекта Харста.

Характерная реализация паводочного режима со степенной формой гидрографа и ее корреляционная функция. Слабое (по сравнению с экспонентой) затухание корреляции в случае степенной формы гидрографа указывает, что для такого паводочного режима характерен эффект Харста.

На величину показателя Харста более всего влияет величина n, характеризующая степень зависимости коэффициента влагопроводности от влажности. Увеличение n приводит к замедлению релаксации влажности почвы, слабому затуханию корреляционной функции случайного процесса, что в свою очередь способствует росту показателя H.
Таким образом, эффект Харста объясняется медленной (степенной) релаксацией вязкой жидкости в пористой среде от момента выпадения осадков до момента попадания воды в замыкающий створ речного бассейна.
Эффекты медленной релаксации вязкой жидкости в пористой среде характерны для большинства задач нестационарной и нелинейной фильтрации и отражают природные закономерности.

* * *

Подведем итоги. Огромный (2.8 млн км²) бассейн Нила представляет собой нелинейную, неравновесную и нестационарную природную систему. Потоки солнечного тепла и влаги с Индийского океана постоянно выводят ее из состояния равновесия. В соответствии со вторым законом термодинамики (законом возрастания энтропии) природная система за счет процессов диссипации (вязкого течения и тепловлагопроводности) релаксирует к состоянию с более высокой энтропией, причем эта релаксация происходит довольно медленно. Вот эту интересную особенность функционирования бассейна Нила и подметил британский климатолог Г.Харст.
Авторы благодарят члена-корреспондента РАН А.Н.Ширяева за поддержку исследований в области математического моделирования процессов с бесконечной памятью.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований. Гранты 97-01-00261, 99-05-64905.

⁹Покровская И.В., Шарков Е.А.// ДАН. 1993. Т.331. N5. С.625-627.
¹⁰Кучмент Л.С., Гельфан А.М. Динамико-стохастические модели формирования речного стока. М., 1993.
¹¹Вершинин П.В., Мельникова М.К., Мичурин Б.Н. и др. Основы агрофизики. Под ред. А.П.Иоффе. М., 1959.
¹²Глобус А.М. Почвенно-гидрофизическое обеспечение агроэкологических математических моделей. Л. 1987; Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М., 1977.
¹³Найденов В.И., Кожевникова И.А.//Теорет. основы хим. технологии. 1999. Т.34. N6. С.30-33; Кожевникова И.А.//Обозрение прикл. и пром. математики. 1997. Т.4. Вып.3. С.353-355.

Научная Сеть

Проект осуществляется при поддержке:
Геологического факультета МГУ,
РФФИ