Теория симметрии кристаллов

IV.6. Взаимодействие поворотной оси симметрии и перпендикулярной к ней трансляции

Рис. 29

Результат взаимодействия поворотной оси n-го порядка с перпендикулярной к ней трансляцией удобно получить, прибегнув к кристаллографическому доказательству [18]. Для этого каждую из взаимодействующих операций симметрии (поворот вокруг оси n и перенос в определенном перпендикулярном к ней направлении) следует заменить отражениями в двух плоскостях. Действительно, последовательные отражения в двух пересекающихся под углом плоскостях симметрии равносильны повороту вокруг линии их пересечения на угол = 2 в направлении от плоскости 1-го отражения к плоскости 2-го [20] (см. с. 18). Отсюда поворот вокруг некоторой оси (с элементарным углом поворота a ) можно рассматривать как последовательные отражения в двух плоскостях, пересекающихся вдоль этой оси и расположенных под углом /2 одна к другой (см. с. 18). Поступание (трансляцию), определяемое некоторым вектором , можно заменить последовательными отражениями в двух параллельных друг другу плоскостях симметрии, перпендикулярных данному вектору и отстоящих одна от другой на половину его длины . При этом выбор положения первой плоскости произволен (см. с. 50).

Рис. 30

Согласно сказанному поворот вокруг оси n, перпендикулярной плоскости чертежа и расположенной в точке О (рис. 29), на угол (например, против часовой стрелки) заменим последовательными отражениями в перпендикулярных чертежу плоскостях симметрии ОО₁ и ОА, образующих угол О₁ОА = /2. При этом плоскость второго отражения ОА расположим перпендикулярно вектору .

В свою очередь, перенос вдоль вектора заменим последователь-ными отражениями в двух параллельных плоскостях, перпендикулярных этому вектору: ОА и СО₁, при этом ОС = .

Таким образом, действие оси симметрии и перпендикулярной к ней трансляции мы заменили последовательными отражениями в следующих плоскостях: ОО₁ ^. [ОА ^. ОА] ^. CО₁ = ОО₁ ^. СО₁. Вследствие ассоциативности группового умножения элементов группы ( (g_i ^. g_j) * g_l = g_i * (g_j ^. g_l) ) (см. с. 28) можно сначала дважды провести операции отражения в плоскости ОА, взаимно уничтожающие друг друга. Тогда последовательно проведенные две оставшиеся операции отражения в плоскостях ОО₁ и СО₁ можно заменить поворотом вокруг оси О₁ (линии пересечения этих плоскостей). При этом вращение вокруг возникшей оси О₁ будет иметь то же направление, что и вокруг исходной оси О. Обратим внимание на то, что при перемножении операций симметрии результат оказывается зависящим от их порядка и потому, когда мы вычеркиваем два отражения в совпадающих плоскостях, необходимо, чтобы эти два отражения стояли рядом в четверке проводимых симметрических операций.

Для того чтобы зафиксировать положение возникшей оси О₁ относительно исходной оси О, необходимо определить направление и величину ее сдвига (ОО₁), т.е. определить угол СОО₁ и расстояние <ОО₁> между осями. Из рис. 29 видно, что О₁ОА = СО₁О = / 2 . Из треугольника ОСО₁ получаем

= sin ОО₁С, т.е. , откуда OO₁ . (12)

Если рассматривать поворот вокруг исходной оси по часовой стрелке на тот же угол a , то путем подобных рассуждений придем к оси О₂ по другую сторону от вектора : ОО₂  ^.[ОВ ^. ОВ] ^. СО₂ = ОО₂ ^. СО₂. Если же сначала произвести перенос, а затем поворот, то получим оси О₃ и О₄.

Подставив в выражение (12) конкретные значения элементарных углов поворота осей различных порядков, получим:

- для оси 2-го порядка ( = 180^o ) , т.е. возникшая ось 2 переместится на середину трансляционного вектора ;

- для оси 3-го порядка ( = 120^o ) , т.е. возникшая ось 3 переместится в центр равностороннего треугольника, построенного на трансляционном векторе в сторону направления вращения вокруг исходной оси;

- для оси 4-го порядка ( = 90^o ) , т.е. возникшая ось 4 окажется в центре квадрата, построенного на векторе в сторону вращения вокруг исходной оси;

- для оси 6-го порядка ( = 60^o ) , т.е. возникшая ось 6 будет находиться в центре правильного шестиугольника, построенного также в направлении вращения оси на векторе .

Рис. 31

Следует отметить, что если ось высшего порядка содержит в качестве подгруппы оси более низких порядков, то каждая из них взаимодействует с перпендику-лярной трансляцией по своему закону, т.е. попадает в центр правильного многоуголь-ника, соответствующего ее порядку. Например, ось 6-го порядка содержит в качестве состав-ляющих оси 3-го и 2-го порядков. При взаимодействии с координат-ными трансляциями все они "разбегаются" в разные позиции, соответствующие центрам пра-вильных шести-, трех- и двухугольников (рис. 30), что хорошо видно на рисунке Эшера с ящерицами (рис. 31).

Кроме кристаллографического доказательства взаимодействия поворотной оси n-го порядка с перпендикулярной к ней трансляцией , можно привести и аналитическое [18], которое удобно рассмотреть на примере оси 4-го порядка: 4_z ^. (рис. 32). Для этого в заданной прямоугольной системе координат XYZ, где с осью Z совмещена ось 4_(00z), выбираем исходную точку 1 с координатами mnp. Поворот точки 1 по часовой стрелке вокруг вертикальной оси 4_z на угол 90^o приведет к точке 2 с координатами . Последующая симметрическая операция - трансляция - перенесет точку 2 в положение 3 с координатами , где a - величина трансляционного вектора .

Рис. 32

В качестве результата взаимодействия двух операций симметрии 1-го рода (операций поворота и переноса) можно ожидать появление также операции 1-го рода, включающей поворот вокруг другой оси (4') с координатами MNZ, значения которых и предстоит определить.

Для нахождения положения оси 4' выразим координаты точки 1 (mnp) в новой координатной системе, выбранной относительно полученной оси 4' : (m- M)(n- N)p. Поворот вокруг оси 4' _(MNZ) изменит координаты точки 1 по тому же закону, что и поворот вокруг исходной оси 4_(00z), т.е. получим следующую координату точки 3 в новых осях: (n- N)(M- m)p. Далее пересчитаем координаты точки 3 к исходной координатной системе - (n- N+M)(M- m+N)p. Сравнив последние с ранее полученными , составим систему уравнений относительно координат М и N:

решение которой позволит определить координаты результирующей производной оси 4' : М = a/ 2 и N = - a/ 2 .

Рис. 33

Итак, поворот на 90^o по часовой стрелке вокруг исходной оси 4-го порядка (4_(00z)) и последующая трансляция в перпендикулярном к оси направлении эквивалентны повороту на этот же угол и в том же направлении вокруг производной, неэквивалентной исходной оси 4' , расположенной в центре квадрата, построенного на этой трансляции () по ту ее сторону, в которую ведет поворот. На рис. 33 Эшера хорошо видна неэквивалент-ность исходной и производной осей 4-го порядка: в одной оси 4 сходятся плавники, в другой, порожденной - хвосты рыб.

При рассмотрении взаимодей-ствия осей 3 или 6 с перпенди-кулярной к ним трансляцией возникают затруднения, связанные с существованием третьего горизонтального координатного направления - оси U, а следовательно, и третьей соответствующей этой оси координаты, изъятие которой возможно лишь при условии обращения ее в нуль путем добавления определенной величины ко всем трем значениям координат по горизонтальным осям.

Рис. 34

На рис. 34 показано взаимодействие оси 3 с перпендикулярной к ней трансляцией . Рассмотрим перемещение точки 1 с координатами mn0p относительно заданной кристаллографической системы координат (при этом исходная ось 3, совмещенная с координатной осью Z, имеет координаты 000z). Поворот по часовой стрелке на 120^o вокруг оси 3 приведет точку 1 к точке 2 с координатами n0mp (круговая перестановка!, см. с. 243). Убрав координату по оси U, т.е. обратив ее в нуль добавлением (- m) ко всем трем координатам по горизонтальным осям, получим . Трансляция перенесет точку 2 в положение 3 с координатами , где a - величина вектора . Далее, выразив положение исходной точки 1 в новых координатных осях (m- M)(n- N)0p (где MN0Z - координаты результирующей оси 3' , связывающей точки 1 и 3) и повернув ее вокруг новой оси 3' , получим точку (n- N)0(m- M)p. После изъятия координаты по третьей горизонтальной оси U имеем координаты (n- N- m+M)(M- m)0p, пересчет которых к исходной координатной системе даст точку (n- N- m+M+M)(M- m+N)0p. Решив систему уравнений

получим значения координат искомой результирующей оси 3' : M = a/3 и N = - a/3, т.е. значения координат центра треугольника, построенного на векторе и расположенного от него в сторону рассматриваемого вращения.

Обобщая два рассмотренных выше примера (4'  Т и 3'  Т ), можно сделать вывод о том, что взаимодействие оси n-го порядка и перпендикулярной к ней трансляции приводит к появлению результирующей оси того же порядка и типа в центре n-угольника, построенного на трансляционном векторе по ту его сторону, в которую было направлено вращение вокруг исходной оси [19].

Таким образом, согласно вышесказанному в качестве результата взаимодействия оси 2-го порядка и можно ожидать появление еще одной оси 2' на середине трансляционного вектора (в центре "двухугольника"); взаимодействие же оси 6 с к принципиально новым положениям оси, кроме как размноженным этим вектором, не приведет. Предоставим читателю возможность доказать это самостоятельно.

Схема доказательства во всех случаях одинакова:

1) вначале осуществляется поворот исходной точки вокруг оси, проходящей через начало координат;

2) далее полученная после вращения точка переносится в направлении трансляционного вектора на его величину;

3) координаты исходной точки выражаются в новом координатном репере, выбранном относительно возникшей результирующей оси;

4) точка с полученными координатами размножается по тому же закону, что и точка, повернутая вокруг исходной оси;

5) после этого полученные координаты точки пересчитываются к исходной координатной системе;

6) составляется уравнение относительно координат результирующей оси;

7) решается система уравнений с определением координат результирующей оси.

Все рассуждения относительно взаимодействия поворотной оси и перпендикулярной к ней трансляции справедливы и для осей иного типа: зеркальных, инверсионных или винтовых.

Если трансляционный вектор располагается под углом к исходной вертикальной оси симметрии, отличающимся от 90^o , то две составляющие его компоненты - вертикальная и горизонтальная - будут взаимодействовать с осью по разным законам: вертикальный (параллельный оси) вектор вольется в исходную ось, изменив ее характер, второй - перпендикулярный - перенесет возникшую производную ось в центр n-угольника, построенного на этом векторе. В случае взаимодействия вертикальной инверсионной оси с неперпендикулярной к ней трансляцией параллельная этой оси трансляционная компонента изменит высоту особой точки инверсионной оси, переместив ее на свою середину, горизонтальная составляющая по-прежнему перенесет производную инверсионную ось (с иной высотой особой точки!) в центр построенного на ней n-угольника.