Теория симметрии кристаллов

Рис. 94

Приступая к построению графиков пространственных групп кубической сингонии, необходимо прежде всего дополнить "инвентарь" условных обозначений элементов симметрии, используемых в графиках пространственных групп низшей и средней категорий.

Действительно, хотя в кубических пространственных группах встречаются все те же оси симметрии кристаллографических порядков (поворотные, винтовые, инверсионные = зеркальные), плоскости симметрии (зеркальные и скользящего отражения), однако ориентация многих из них в группах высшей категории специфична, что и отражено в их обозначениях на графиках пространственных групп. Для того чтобы по возможности исключить формальное заучивание или "рабскую" прикованность к таблицам, остановимся подробнее на таких, главным образом нетривиальных, обозначениях [16, 17].

Из уже рассмотренных графиков пространственных групп низшей и средней категорий в кубическую сингонию без изменений переходят обозначения вертикальных (т.е. перпендикулярных плоскости чертежа) поворотных и винтовых осей симметрии любых кристаллографических порядков. Обозначения горизонтальных осей 2-го порядка не претерпевают изменений: "стрелки" вынесены на поля графика за пределы обозначенной элементарной ячейки с указанием их высоты (уровня) над плоскостью чертежа в долях параметра с (рис. 94).

Принципиальная "новость" - горизонтальные оси 4-го порядка (отсутствующие в низшей и средней категориях). Их обозначения так же, как и обозначения осей 2-го порядка, выносятся на поля графика за пределы ячейки и имеют вид деформированных квадратов - параллелограммов, "нанизанных" на оси. При этом длинная сторона каждого параллелограмма перпендикулярна направлению оси (рис. 94, а).

Инверсионные оси 4-го порядка фиксируются на графиках лишь своими особыми точками, но вместо маловыразительной "точки" изображают "зеркало" (! ) - пустой незачерненный квадрат () - для вертикальных осей или параллелограмм, нанизанный на горизонтальную ось ( ), с указанием высоты ее особых точек (а следовательно, высоты самой оси, если она горизонтальна) в долях параметра с элементарной ячейки (рис. 94, б).

Для обозначения характерных лишь для кубических групп наклонных элементов симметрии - осей 2-го и 3-го порядков (параллельных соответственно гранным и телесным диагоналям кубической ячейки) - используются незачерненные фюзо и треугольники, пронзенные векторами (осями, порядок которых они символизируют). Нижние концы таких наклонных осей, отмеченные точками, указывают место их выхода с нулевого уровня вверх (рис. 94, в, г).Координатные плоскости симметрии - вертикальные и горизонтальная - обозначаются так же, как и на графиках пространственных групп низшей и средней категорий. Однако диагональные вертикальные плоскости неизменно сопровождаются связанными с ними наклонными диагональными плоскостями, попарно образующими как бы двускатную крышу. На графиках показывают "конек" такой крыши, находящийся на нулевом вдоль оси Z уровне, и ее скаты. Стрелки на скатах указывают направление трансляционных компонент пересекающихся наклонных плоскостей скользящего отражения (рис. 94, д).

Рис. 95

В кристаллографической литературе можно встретить некоторые устаревшие либо современные, но малоудачные, на наш взгляд, обозначения элементов симметрии пространственных групп кубической сингонии [17, 73]. Поэтому считаем полезным вкратце остановиться на них.

1. Наклонные оси 2-го порядка изображались в виде по-разному ориентированных тригональных (!) призм, из граней которых выходят стрелки (оси), направленные с нулевого уровня вверх:

.

2. Пересечение с осью 3-го порядка всех трех координатных инверсионных осей 4-го порядка, а следовательно, всех элементов симметрии комплекса , обозначались квадратом, перечеркнутым одной диагональю: .

3. Для изображения наклонных плоскостей симметрии в последнем издании Интернациональных таблиц [73] используется стереограмма всех (и трансляционных тоже) элементов симметрии, пересекающихся в определенных точках (рис. 95).

Все только что перечисленные обозначения элементов симметрии и их комплексов, на наш взгляд, неудачны, так как выпадают из общей идеи, заложенной в условные обозначения элементов симметрии пространственных групп различных категорий, и излишне загромождают их графики. Поэтому авторы "Атласа пространственных групп кубической системы" [16], отказавшись от подобных условных знаков, постарались использовать обозначения, во многом повторяющие первоначальную символику первого автора графиков пространственных групп Е.С.Федорова (см. [17]).

Рис. 96

Построение графика пространственной группы удобно начать с вычерчивания ее исходной ромбической подгруппы Рbca с одинаковыми параметрами элементарной ячейки, кубизация которой введением оси 3-го порядка делает все координатные особые направления эквивалентными.

Посчитав плоскости b, c, a всех трех позиций ромбического символа порождающими элементами симметрии, в качестве результата их взаимодействий получим винтовые оси 2-го порядка и центр инверсии (рис. 96, а). Для ввода оси 3-го порядка наиболее приемлемой является нонвариантная позиция (см. с. 184) в центре инверсии, равноудаленная в пр. гр. Рbca от всех трех скрещивающихся координатных осей 2₁ и трех плоскостей симметрии (рис. 96, б). Действительно, задание оси 3_[111] в указанную позицию, принятую за начало координат (с соответствующим изменением высот элементов симметрии), не размножает (а переводит в себя) ни осевой, ни плоскостной комплекс исходной ромбической группы. Поэтому процесс вычерчивания графика искомой пр. гр. сводится к размножению заданной материализованной оси 3-го порядка либо всеми плоскостями симметрии, либо осями симметрии 2-го порядка пространственной группы с последующей фиксацией найденных осей 3 на нулевом (относительно оси Z) уровне. Поскольку и плоскости симметрии b, c, a, и винтовые оси 2₁ содержат трансляционные компоненты, направленные вдоль всех трех координатных осей X, Y и Z, то оси 3-го порядка, размноженные ими, как бы "разбегутся" вдоль указанных векторов.

Рис. 97

Рассмотрим последовательные действия на исходную ось 3_[111] каждой из указанных трансляционных плоскостей симметрии (рис. 97), при этом дробью (1/2) отметим оси 3-го порядка, точки входа которых расположены на полтрансляции вдоль оси Z. Отраженная в плоскости b_x = m_x^. ось 3_[111] , получив символ 3, сначала займет положение 2 и затем будет перенесена трансляционной компонентой этой плоскости в положение 3 без изменения своей высоты по оси Z (рис. 97, а). Та же ось 3_[111] под действием плоскости с_y = m_y ^. (рис. 97, б), отразившись в ней, получит символ 3 и, перемещенная вдоль оси Z на , будет зарегистрирована на нулевом уровне в позиции 3, а затем трансляцией решетки внесена в элементарную ячейку в положение 4. Горизонтальной плоскостью a_z = m_z ^. , расположенной на высоте , ось 3_[111] будет переведена с нулевого уровня в положение 2 (3) и затем в положение 3 на высоте ; на нулевом уровне она окажется в положении 4 (рис. 97, в).

В случае отсутствия плоскостей симметрии, например в пространственной группе герсдорфита NiAsS - Р2₁3 (подгруппа группы ), размножающим будет комплекс скрещивающихся осей 2₁. А так как этот комплекс осей является производным от взаимодействия плоскостей симметрии b, c, a, то в итоге получим то же самое расположение осей 3-го порядка:

- ось 2_1(x) (рис. 97, г) повернет исходную ось 3_[111] на 180^o в положение 2 (3) и сместит на полтрансляции вдоль оси X в положение 3; выход этой оси с нулевого уровня вверх будет иметь символ [] (положение 4);

- ось 2_1(y) (рис. 97, д), расположенная на высоте , повернет исходную ось 3_[111] в положение 2 (3) на высоте 1/2 по оси Z и далее перенесет в положение 3, окончательная позиция этой оси (3) на нулевом уровне будет в положении 4;

- поворот и скольжение вокруг оси 2_1(z) (рис. 97, в) переведут исходную ось 3_[111] в положение 2 (3) на высоту, и нулевой ее выход (положение 3) окажется за рамками выделенной элементарной ячейки; внесенная в ячейку ось 3 будет локализована в положении 4.

Рис. 98

Таким образом, в результате проведенных операций симметрии получим 4 выхода поворотных осей 3-го порядка (см. рис. 96, в).

График пространственной группы будет завершен (см. рис. 96, г), если на него нанести винтовые оси 3₁ и 3₂, всегда сопровождающие в кубических пространственных группах поворотные оси 3-го порядка и возникающие как результат их взаимодействия с группами трансляций каждой из трех кубических решеток Браве.

Для определения взаимного расположения осей 3-го порядка (3, 3₁, 3₂) удобно, сориентировав кубическую элементарную ячейку вдоль одной из осей 3-го порядка, представить ее в гексагональном аспекте как частный случай R-решетки.

И поскольку в каждой из кубических решеток (Р, I или F) можно выделить основную ячейку в виде примитивного ромбоэдра (рис. 98), а следовательно, дважды центри-рованную гексагональную ячейку Браве, то, рассмотрев взаимодействие главной оси такой ячейки (оси 3) с ее дополнительными трансляци-онными векторами и (рис. 99), можно определить характер и положение результирующих осей 3₁ и 3₂ .

Рис.99

Вертикальные составляющие и векторов и , добавленные к операции поворота на 120^o вокруг оси 3, превратят ее в винтовые 3₁ и 3₂ соответственно. Горизонтальные же составляющие и этих векторов перенесут возникшие винтовые оси в центры построенных на них треугольников (см. с. 54) в сторону вращения результирующих осей, характер и положение которых подтверждаются и высотами узлов дважды центрированной R-ячейки (рис. 99).

Рис. 100

Далее, рассмотрев положения полученных винтовых осей 3₁ и 3₂ на гранях исходного ромбоэдра (Р-куба) (рис. 100, а), увидим, что эти оси параллельны главной исходной оси 3 ромбоэдра и пересекают его грани (например, грань АВСD) в точках, делящих их горизонтальные диагонали (BD) на три равные части. Размножив полученные таким образом оси 3₁ и 3₂, определим их положения и на соседних гранях основного ромбоэдра (куба).

В кубической I-ячейке за счет присутствия центрирующего объем вектора , равного половине телесной диагонали исходного куба, вдвое сокращается трансляция вдоль оси 3-го порядка выделенной основной ячейки (ромбоэдра), а следовательно, и вертикальный параметр с соответствующей гексагональной дважды центрированной R-ячейки Браве. Соответственно сокращаются вдвое и вертикальные составляющие и векторов и (рис. 100, б). Это приводит к тому, что ось 3₁ оказывается в позиции 3₂ кубической Р-ячейки (и соответственно ось 3₂ совпадает с осью 3₁), т.е. на грани (001) исходного I-куба положение энантиоморфных осей 3₁ и 3₂ по сравнению с их положением на этой же грани в Р-ячейке меняются местами (рис. 100, б).

Рис. 101

В кубической F-ячейке центрировка всех граней заставляет по-иному выбрать примитивный основной ромбоэдр и соответственно дважды центрированную гексагональную ячейку Браве (рис. 100, в). В результате винтовые оси 3₁ и 3₂ оказываются спроектированными на диагональ малого квадрата - ее 1/4 части. При этом с тройными винтовыми осями, перешедшими от Р-ячейки, совпадет лишь четвертая часть из восьми осей 3₁ и 3₂ F-решетки, характер которых сохранится.

Таким образом, чтобы нанести на график кубической пространственной группы оси 3₁ и 3₂, следует для каждого выхода поворотной оси 3 начертить (обозначить) квадрат со сторонами, равными и в Р- и I-решетках и и - в F-решетке, по отношению к которому исходная ось 3-го порядка занимала бы положение 3_[111]. Затем, разделив не проходящую через ось 3 диагональ квадрата на три равные части, найти в соответствии с вышеизложенным правилом позиции осей 3₁ и 3₂. На рис. 101 изображено поэтапное получение винтовых осей 3₁ и 3₂, сопровождающих каждую из четырех исходных скрещивающихся поворотных осей 3-го порядка в пр. гр.. Окончательный вариант графика пр. гр. изображен на рис. 96, г.

Рис. 102

Построение графика пространственной группы Р2₁3, являющейся подгруппой пр. гр. , не должно вызывать затруднений, ибо здесь могут быть использованы рекомендации, сформулированные при построении графика пр. гр. (см. с. 174). А так как исходной в данном случае служит ромбичеcкая осевая пр. гр. Р2₁2₁2₁, то вычерчивание искомой группы удобно начать с построения графика именно этой пространственной группы (см. с. 131) с учетом параметров кубической элементарной ячейки (a = b = c). Начало координат, условно выбранное для этой группы в точке, равноудаленной от всех трех скрещивающихся осей 2₁ (в позиции центра инверсии в пр. гр. ), служит при ее кубизации местом ввода оси 3-го порядка, ибо только в этом случае осевой комплекс не будет ею размножен (рис. 102, а). Далее поступаем так же, как при выводе пр. гр. : размножаем введенную ось 3_[111] координатными осями 2₁ (см. с. 175) и наносим на график соответствующие им оси 3₁ и 3₂ (рис. 102, б, в). Убеждаемся в том, что полученный осевой комплекс является подгруппой пр. гр. .

Рис. 103

Исходной при построении графика пространственной группы удобно считать группу ромбической голоэдрии Immm, построение которой естественно начать с графика пр. гр. Pmmm, предположив одинаковые параметры элементарной ячейки a, b и с (рис. 103, а). Затем, введя дополнительный трансляционный вектор и получив при этом весь комплекс элементов симметрии, чередующихся с исходными Р-группы, можно перейти к пр. гр. Immm (рис. 103, б). После этого следует ввести кубизирующую ось 3-го порядка в точку с максимальной симметрией mmm (точку в начале координат), предварительно убедившись в том, что при этом и осевой и плоскостной комплексы исходной группы останутся неизменными.

Под действием элементов симметрии исходной группы (например, зеркальных плоскостей симметрии) введенная ось 3_[111] будет размножена, т.е. получим три пересекающиеся в одной точке (с координатами 000) оси: 3, 3 и 3. Далее останется только нанести, воспользовавшись приведенным на с. 175 приемом, оси 3₁ и 3₂, всегда сопровождающие в кубической элементарной ячейке поворотные оси 3 (рис. 103, в).

Рис. 104

Исходной для построения графика пространственной группы будет тетрагональная группа , поэтому и построение графика следует начинать именно с нее. Задание в качестве порождающих элементов симметрии координатной поворотной оси 2-го порядка (2_x) и расположенной к ней под углом 45^o диагональной зеркальной плоскости (m_d) обусловит появление инверсионной оси 4-го порядка () (рис. 104, а), взаимодействие которой с трансляциями решетки приведет к появлению еще одной неэквивалентной исходной оси в центре ячейки (см. с. 54). Поворотные оси 2-го порядка, являющиеся подгруппой группы , а также размноженные осью горизонтальные оси 2, взаимодействуя с этими же трансляциями по одинаковому закону, оказываются в позициях на серединах ребер элементарной ячейки. При этом все горизонтальные координатные оси 2 расположатся на двух уровнях (0 и 1/2) по оси Z элементарной ячейки. На графике эта естественная периодичность высот осей, как правило, не отмечается. Из иных высот элементов симметрии указываются только меньшие (например, "1/4" подразумевает присутствие оси на высоте не только "1/4", но и "3/4"). Взаимодействие исходной плоскости m_d с и обусловит чередование m (b) (рис. 104, б).

Рис. 105

В результате всех описанных выше операций симметрии получим график исходной тетрагональной пр. гр. , кубизацию которой можно осуществить вводом оси 3-го порядка, однако при этом следует решить, какой из двух, казалось бы, конкурирующих позиций отдать предпочтение: осевому комплексу 222 в позиции или особой точке инверсионной оси комплекса (в начале координат). Введя ось 3_[111] в позицию I () (рис. 104, б), увидим, что оси 2-го порядка, пересекающиеся в этой точке, окажутся взаимосвязанными введенной осью 3 (рис. 105, а). При этом единственная ось тетрагональной группы размножится поворотом на 120^o (рис. 105, б), заняв позиции . Размножение каждых двух осей (например, и ) третьей - - приведет к тому, что все оси 2-го порядка повысятся до осей . Действительно, инверсионный поворот оси (в позиции ) вокруг оси (в позиции ) даст ось (в позиции x00), которая перекроет существующую в этой позиции ось 2_(x00), и т.д. (рис. 105, в). В результате расположения инверсионных осей через 1/2 координатных трансляций вдвое сократятся параметры заданной первоначально элементарной ячейки.

Ввод кубизирующей оси 3_[111] в позицию II с симметрией (000) (рис. 105, в) обеспечит круговую перестановку () всех осей исходной пространственной группы :

_(00z) --> _(00z) , _{(x00) -} в позиции 2_(x00) , _(0y0) - в позиции 2_(0y0) ,

--> , _- в позиции 2, - в позиции 2.

Остальные оси 2-го порядка окажутся связанными кубизирующей осью 3:

2 --> 2, 2 , 2;

2 --> 2, 2, 2.

Рис.106

В результате половина исходных осей 2-го порядка войдет в качестве подгрупп в инверсионные оси , не сократив при этом размеров исходной элементарной ячейки (см. рис. 104, в).

Следует отметить, что при кубизации инверсионные оси размножаются вместе со своими особыми точками (рис. 106, а) и на графиках кубических пространственных групп изображаются не сами инверсионные оси, а их особые точки ( , см. с. 170), в отличие от тетрагональных групп, где инверсионные оси всегда вертикальны и имеют специальное обозначение: .

На рис. 106, а видно, что из инверсионной оси _(00z) с особыми точками в позициях 000 и при повороте () вокруг оси 3_[111] получим оси _(x00) и _(0y0) с особыми точками, позиции которых легко находят также c помощью круговой перестановки:

--> , , ;

--> , ,

и ось --> , , ,

с особыми точками --> , , ,

--> , , (рис. 106, б).

Рис. 107

На графиках (рис. 104, в и 106, д) нанесены найденные позиции особых точек всех инверсионных осей .

Рис. 108

Прием круговой перестановки удобен и для получения всех диагональных плоскостей, связанных осью 3-го порядка. Так, плоскость m₍₁₁₀₎ m₍₁₁₀₎ , m₍₀₁₁₎ , m₍₁₀₁₎ , каждая из которых отдельно и все вместе показаны на соответствующем рисунке и графике (рис. 107). При размножении диагональных плоскостей скользящего отражения (в данном случае плоскостей, чередующихся с зеркальными плоскостями) изменение направлений трансляционных компонент меняет соответственно и их наименования. Однако нередко обозначение таких плоскостей буквами, соответствующими скольжению, затруднено. Поэтому в таких случаях удобно воспользоваться нейтральным обозначением: буквой g (нем. gladen - скольжение). В рассматриваемом случае g₍₁₁₀₎ --> g₍₁₁₀₎ , g₍₀₁₁₎ , g₍₁₀₁₎ (рис. 108, а - в).

Последний этап построения графика пространственной группы связан с размножением исходной оси 3-го порядка 3_[111] комплексом полученных элементов симметрии, а также с локализацией

сопровождающих поворотную ось 3 осей 3₁ и 3₂. Сведение воедино всех поэтапно полученных элементов симметрии даст окончательный график пространственной группы (см. рис. 104, г).

Далее естественно получить и график пространственной группы , для чего следует ввести вектор в построенный график пр. гр. и рассмотреть взаимодействия этого вектора со всеми элементами симметрии группы. Вектор можно ввести уже на этапе вычерчивания графика исходной тетрагональной группы (что легче), т.е. получить сначала группу (см. рис. 104, д), а затем ее кубизировать. В обоих случаях построение графика будет включать рассмотрение взаимодействия осей (со своими особыми точками в позициях 000 и ) и центрирующего объем ячейки вектора, в результате чего возникнут оси того же наименования в центрах квадратов, построенных на горизонтальной составляющей вектора (в позициях и ). При этом изменятся высоты особых точек полученных осей за счет присутствия вертикальной составляющей вектора , переносящей особые точки на уровни 1/4 и 3/4 относительно (см. рис. 104, д).

Не следует забывать и о том, что центрирующий объем ячейки вектор , располагаясь в диагональных плоскостях симметрии m(b), обусловит их тождественность с плоскостями n и с соответственно, т.е. будем иметь m n (b c). Однако на окончательном графике тетрагональной пространственной группы изображается лишь одна из каждой пары чередующихся плоскостей: m и с соответственно. Кроме того, вектор обусловит чередование вертикальных осей 2_z = и горизонтальных осей 2_x и 2_y с винтовыми осями 2-го порядка (см. рис. 104, д).

Дальнейшее построение графика сводится к размножению новых осей осью 3_[111], введенной, как и в рассмотренной выше пр. гр. , в позицию (000) с симметрией , способом круговой перестановки и нанесению полученных результатов на график:

инверсионная ось --> , ,

с особыми точками --> , , ,

--> , , ;

инверсионная ось --> , ,

с особыми точками --> , , ,

--> , ,

(см. рис. 104, е).

Полный график пространственной группы изображен на рис. 104, ж.

Рис. 109

Для того чтобы получить график пространственной группы , логично обратиться к тетрагональной группе с F-решеткой - , в стандартной установке соответствующей пр. гр. , график которой легко получить на основе пр. гр. . Таким образом, выстраивается цепочка последовательно вычерчиваемых графиков пространственных групп:

--> --> --> .

Получение графика тетрагональной пр. гр. не вызывает затруднений, ибо взятые в качестве порождающих элементов симметрии зеркальная координатная плоскость m и расположенная к ней под углом 45^o диагональная ось 2 зафиксируют положение зеркально-поворотной оси (рис. 109, а) и ее особой точки (в позиции 000). Введение в график этой пространственной группы центрирующего объем ячейки вектора , обеспечит не только чередование исходных зеркальных плоскостей симметрии m с клиноплоскостями n (так же, как и чередование 2(2₁)), но и появление новых осей с соответствующими им особыми точками на высоте (рис. 109, б).

Для кубизации - перехода к гранецентрированной кубической ячейке - необходимо пр. гр. представить в нестандартном для нее F-аспекте: (рис 109, б). При этом координатные и диагональные особые направления поменяются местами. Затем следует ввести кубизирующую ось 3-го порядка в позицию с симметрией , т.е. в начало координат новой F-ячейки. В результате этого все горизонтальные поворотные оси 2-го порядка повысятся дo , а также появятся наклонные диагональные плоскости m и n (рис. 109, в):

ось --> , ,

с особыми точками 000 --> 000, 000, 000,

--> ;

ось --> , ,

с особыми точками --> ,

--> ;

ось --> , ,

с особыми точками --> ,

--> ;

ось --> , ,

с особыми точками --> ,

--> ;

ось --> , ,

с особыми точками --> ,

--> ;

ось --> , ,

с особыми точками --> ,

--> ;

ось --> , ,

с особыми точками --> ,

--> ;

ось --> , ,

с особыми точками --> ,

--> ;

плоскости m_{(110) -->} m₍₁₁₀₎ , m₍₁₀₁₎ , m₍₀₁₁₎ ,

--> , , ,

n₍₁₁₀₎ --> n₍₁₁₀₎ , n₍₁₀₁₎ , n₍₀₁₁₎ ,

--> , , .

Рис.110

Вычерчивание графика пространственной группы Р4₁32 начинают с построения графика ее тетрагональной подгруппы Р4₁2₁2. Посчитав порождающими координатную винтовую ось 2_1(x) и поворотную диагональную ось 2_d, отстоящие одна от другой на , получим в качестве результирующей ось 4_1(z) в центре одного из квадратов, построенных на трансляционном векторе оси 2_1(x). При этом ось 4₁ окажется в "левом" квадрате, ибо в центре "правого" квадрата она пересечется с исходной ось 2_d, что приведет к появлению поворотной координатной оси 2_x под углом 45^o к 2_d, т.е. к невозможному в Р-решетке чередованию координатных осей 2₁(2) (рис. 110, а).

Далее получаем весь комплекс осей тетрагональной группы:

- за счет взаимодействия 4_1(z) ^. (или ) получим 4₁ в центре квадрата, построенного на этой трансляции;

- взаимодействие 2_1(z) (= 4₁²) ^. ( ) приведет к появлению оси 2₁ на серединах векторов и ;

- ось 2_1(x), размноженная осью 4_1(z) , после поворота на 90^o окажется на высоте , так же как ось 2_d (ее исходная высота ) - на высоте и т.д. (рис. 110, а).

Рис. 111

Затем переходим к кубизации полученной тетрагональной группы Р4₁2₁2 . Из двух конкурирующих, казалось бы, позиций (I и II), равноудаленных от всех трех скрещивающихся координатных осей 2₁ (как в пр. гр. Р2₁3) и всех диагональных осей 2-го порядка, для ввода кубизирующей оси 3-го порядка оказывается пригодной лишь первая, так как только в этом случае при вращении исходных осей 2₁ и 4₁ вокруг введенной оси 3_[111] не появится новых особых направлений: при этом лишь часть координатных горизонтальных осей 2₁ будет повышена до 4₁ (рис. 111, а). При введении же оси 3 в позицию II (см. рис. 110, а) все винтовые горизонтальные координатные оси 2-го порядка повысятся до 4-го порядка, что сократит вдвое параметры исходной элементарной ячейки (рис. 111, б) ¹.

Далее, перерисовав график с новым началом координат на оси 3, размножаем сначала ось 3 винтовыми координатными осями 2₁ (см. с. 173), а затем диагональные оси 2 и 2₁ способом круговой перестановки и в заключение (рис. 110, б) наносим на график оси 3₁ и 3₂ (см. с. 176).

Рис. 112

Основой для вычерчивания графика голоэдрической пространственной группы служит ее тетрагональная подгруппа , в стандартном символе которой, приведенном в Интернациональных таблицах, , предпочтение отдано не диагональной клиноплоскости n, а чередующейся с ней плоскости с (с вертикально расположенным трансляционным вектором). Возникновение винтовых осей 4₂ при взаимодействии вертикальных плоскостей - координатной m_x и диагональной с_d (с углом 45^o между ними) - подтверждается и наличием горизонтальных поворотных осей 2_x и 2_d, также расположенных под углом 45^o , но на высотах, различающихся на 1/4 вертикальной трансляции и полученных при взаимодействии вертикальных и горизонтальной плоскостей симметрии: m_x ^. m_z = 2_x , c_d ^. m_z = 2_d на . Взаимодействие диагональных элементов симметрии (с_d и 2_d) с координатными трансляциями решетки приводит к чередованию c_d (n_d) и 2_d (2_1(d)). Полный график пр. гр. включает и центры инверсии (рис. 112, а).

Из трех позиций с максимальной величиной симметрии (равной 8) : mmm (000), () и mmm () - для введения оси 3-го порядка, повышающей исходную группу до , пригодной оказывается последняя (рис. 112, а), ибо только в этом случае комплекс вертикальных осей останется без изменения, а половина горизонтальных осей 2 повысится до 4₂: 2 --> 4₂ , 2₁ --> 4₂, не сократив при этом параметров исходной элементарной ячейки. При введении оси 3 в другие две указанные позиции все оси 2 повысятся до осей 4-го порядка, что вдвое сократит параметры заданной элементарной ячейки.

Далее начало координат переносим в выбранную позицию mmm () и наносим винтовые оси 4₂, размноженные осью 3-го порядка:

ось 4₂ 4₂, 4₂,

ось 4₂ 4₂, 4₂ (рис. 112, б).

Совпадающая с осью 4₂ "невидимая" в исходной пр. гр. ось со своими особыми точками, отстоящими от уровня горизонтальной плоскости m (с расположенным в ней центром инверсии) на также размножается осью 3. При этом убеждаемся, что оси 4₂ и и в кубической группе по-прежнему совпадают:

ось ,

с особыми точками , ,

, ;

ось , ,

с особыми точками , ,

, (рис. 112,б).

Особое внимание следует уделить размножению осями 3 диагональных осей 2-го порядка способом круговой перестановки и их обозначению (см. условные обозначения на с. 169). При этом процесс размножения затрагивает как сами оси 2, так и точки их входа (на границах элементарной ячейки).

Рис. 113

Например, из диагональной оси 2₁ (рис. 113, а), выходящей в точке с координатами , вращением вокруг оси 3_[111] с помощью круговой перестановки получим еще две:

ось 2₁ 2₁, 2₁

с точкой входа , .

При этом на график (рис. 113, а) наносятся подобно другим наклонным элементам симметрии (см. с. 143) лишь оси 2 или 2₁ с положительным индексом по оси Z (оси, выходящие с нулевого уровня вверх), т.е. ось 2₁, а не 2₁ и ось 2₁, а не 2₁. Если в результате круговой пере-становки точка входа диагональной оси оказыва-ется не на нулевом уровне, то, прежде чем изобразить эту ось на графике, следует найти ее выход на нулевом уровне.

Например, при размножении оси 2 2, 2,

с точкой входа ,

на график (рис. 113, б) ось 2 с точкой входа наносится в положении (точка входа на нулевом уровне), ось 2 регистрируется своим выходом вверх, т.е. 2 в точке . По предложенной схеме наносим и остальные оси:

ось 2₁ 2₁ , 2₁

с точкой входа , ;

ось 2 2, 2,

с точкой входа , (см. рис. 112, в).

Плоскостной комплекс пространственной группы получаем также способом круговой перестановки индексов в символах как координатных, так и диагональных плоскостей. При этом координатные плоскости, перешедшие из тетрагональной группы, здесь оказываются эквивалентными (за счет присутствия равнонаклонной к ним оси 3):

m_x(100) m_y(010) , m_z(001).

Диагональные же плоскости скользящего отражения меняют направления своих трансляционных компонент, а следовательно, и свои наименования и условные обозначения:

, ,

c₍₁₁₀₎ g₍₀₁₁₎ , g₍₁₀₁₎ (см. рис. 112, в).

Полный график пространственной группы изображен на рис. 112, в.

Рис. 114

За основу при вычерчивании графика пространственной группы следует взять соответствующую тетрагональную подгруппу , на второй позиции символа которой координатные плоскости с чередуются за счет присутствия центрирующего объем элементарной ячейки вектора с плоскостями скользящего отражения b и a. Трансляционные компоненты этих плоскостей (,,) направлены вдоль всех трех координатных осей, что позволяет их объединить введенной осью 3_[111] на одной (1-й) позиции кубического символа. Таким образом, вычерчивание графика искомой пространственной группы следует начинать с построения графика пр. гр. , приняв ее подрешеточный плоскостной комплекс, т.е. плоскости c, b, a, в качестве порождающих элементов симметрии.

Взаимодействие плоскости с_y ( = m_y ^. ) и клиноплоскости d (= m_d ^. ), расположенных под углом 45^o одна к другой (рис. 114, а), обусловит появление винтовой трехзаходной оси 4₃ в центре квадрата, построенного на горизонтальной составляющей вектора = + ( где = , = , - диагональ грани кубической ячейки). Величину трансляционной компоненты этой оси составят два вертикальных вектора плоскостей с и d: + = (ср. с взаимодействием m_y ^. d, см. с. 158). Проведение симметрических операций в обратном порядке - сначала d, а затем с - обусловит появление также винтовой оси, но уже 4₁, в центре квадрата, построенного на горизонтальной составляющей, но не исходного , а ему энантиоморфного вектора (см. с. 68), т.е. отраженного в плоскости m_y. Таким образом, достаточно задать только две плоскости с и d, чтобы получить чередование осей 4₁(4₃), т.е. I-решетку! К этому же типу решетки, как было показано на с. 154, приведет и взаимодействие винтовых осей 4₁ и 4₃ с перпендикулярной к ним плоскостью а. Причем помимо вектора появятся также чередующиеся между собой инверсионные оси с особыми точками на высотах 1/8 и 3/8 (см. с. 154).

Далее не составит труда размножить полученные элементы симметрии, рассмотрев их взаимодействие с трансляциями решетки и друг с другом (и действие друг на друга). При этом следует обратить внимание на то, что винтовые оси 4₁ и 4₃ оказываются в квадратах, оконтуренных стрелками клиноплоскостей d, направление которых (стрелок) не совпадает с направлением вращения самих осей (ср. с графиком пр. гр. I4₁md, где направления вращения осей и стрелок совпадают, см. рис. 92, в), а также на то, что наличие инверсионных осей и высота их особых точек подтверждается взаимодействием координатных плоскостей симметрии и диагональных осей 2-го порядка (рис. 114, а).

Из четырех позиций без степеней свободы: двух позиций ² с симметрией , 222 и приемлемой для ввода кубизирующей оси 3-го порядка будет позиция в центре инверсии, равноудаленном от координатных плоскостей симметрии (так же как в пр. гр. , см. с. 172), ибо только в этом случае они переходят друг в друга, не размножаясь. Вторая система центров инверсии, являющаяся результирующей при взаимодействии с , автоматически окажется расположенной на введенной оси 3_[111] , так как она совпадает по направлению с вектором .

Приведя высоты всех элементов симметрии к выбранному в центре инверсии началу координат, можно приступить к размножению всех элементов симметрии, руководствуясь приведенными выше рекомендациями (рис. 114, б). Полный график искомой пр. гр. приведен на рис. 114, в.

Рис. 115

Схема вычерчивания графика данной пространственной группы - --> --> - та же, что и при построении графика пр.

гр. (см. с. 161). Исходной, как и при построении графика пр. гр. , будет та же пр. гр. . И отличие заключается лишь в том, что исходная тетрагональная группа должна быть представлена в F-аспекте: (рис. 115, а). При этом годными к введению кубизирующей оси 3-го порядка оказываются две позиции с симметрией 222 (000) и . Действительно, введя ось 3_[111] в первую позицию (222), увидим, что на этой оси окажется и вторая позиция с симметрией . Поэтому, поскольку оба начала координат в данной кубической группе будут равноценны, в справочной литературе часто приводят два графика этой пространственной группы (рис. 115, б, в).

Рис. 116

Исходной для вычерчивания графика кубической пространственной группы могла бы послужить тетрагональная с тремя координатными клиноплоскостями d. Но поскольку ее стандартный аспект

соответствует пр. гр. , график удобно начать с построения пр. гр. I4₁md. Таким образом, последовательность вычерчивания графика искомой

пространственной группы будет следующая:

I4₁md --> --> --> .

Обратившись к готовому графику пр. гр. , построение которого приведено на с. 158, и перерисовав его в F-аспекте (рис. 116, а), выбираем позицию для ввода кубизирующей оси 3-го порядка. Для этого пригодными оказываются две взаимосвязанные позиции: точки с симметрией (000) и , ибо, введя ось 3_[111] в одну из них (например, в особую точку инверсионной оси ), автоматически вводим ее и в центр инверсии (). Отсюда и два варианта равноправных графиков пр. гр. : с началом координат в точке с симметрией и отстоящей от нее на точке с симметрией , хотя по традиции предпочтение отдается первой из них. После выбора одного из указанных исходных положений в качестве начала координат построение графика искомой группы не должно вызывать затруднений. Набравшись терпения, следует планомерно размножить все элементы симметрии исходной тетрагональной группы предварительно полученными осями 3-го порядка, используя рекомендации, сформулированные выше. Авторы предлагают читателю проделать это самостоятельно. Окончательные графики пр. гр. с началом координат в точках с симметрией и приведены на рис. 116, б и в соответственно.