Теория симметрии кристаллов

Рис. 122

Посчитав порождающими в пространственной группе P6₃mc координатные и апофемальные плоскости симметрии, наносим на график предварительно оконтуренной гексагональной Р-ячейки плоскости m_x и с_апоф , пересекающиеся под углом 30^o . Результирующая ось 6₃, фиксируемая линией пересечения исходных плоскостей, наследует трансляционный вектор плоскости с . Далее, рассмотрев взаимодействие возникшей оси 6₃ и осей ее составляющих (т.е. входящих в нее в качестве подгрупп - осей 3 и 2₁) с координатными трансляциями ячейки - , , , получим весь осевой комплекс данной группы: оси 6₃ окажутся в центрах правильных шестиугольников, построенных на этих векторах, оси 3 - в центрах треугольников и оси 2₁ - на серединах векторов (см. с. 54 и рис. 122, а). После этого, размножив заданные вертикальные плоскости симметрии m и с поворотными осями 3-го порядка, найдем как результат их взаимодействия с координатными трансляциями чередующиеся с ними плоскости - b и n соответственно. В результате получим график искомой пр. гр. Р6₃mc ( рис. 122, б).

Из двух конкурирующих позиций с точечной симметрией 3m (00z и ) в качестве начала координат гексагональной пространственной группы естественно предпочесть первую - на оси 6-го порядка. В данной группе (P6₃mc), как и во всех гемиморфных, отсутствуют позиции без степеней свободы вдоль оси Z, что определяет начало координат в точке, не фиксированной элементами симметрии вдоль указанного направления.

Рис. 123

Построение графика голоэдрической пространственной группы удобно начать с вычерчивания ее гемиморфной подгруппы Р6₃mc (см. выше). И затем, введя горизонтальную плоскость m_z , рассмотреть результат взаимодействия с ней всех симметрических операций исходной группы. Взаимодействие вертикальных плоскостей симметрии с заданной горизонтальной плоскостью m_z даст координатные и апофемальные оси 2 и 2₁, которые, в свою очередь, прореагировав с координатными трансляциями , и (расположенными к ним под разными углами: 30, 60 и 90^o ), дадут весь спектр поворотных и винтовых осей 2-го порядка данной пространственной группы.

Взаимодействие вертикальных осей 2₁, как "самостоятельных", так и входящих в качестве подгруппы в оси 6₃, с перпендикулярной к ним плоскостью m_z приведет к возникновению центров инверсии на середине трансляционных компонент этих осей (2₁), т. е. центров инверсии, поднятых на 1/4 вертикальной трансляции решетки (рис. 122, в) над уровнем заданной горизонтальной плоскости (m_z).

В качестве начала координат из трех конкурирующих между собой позиций без степеней свободы и с одинаковой величиной симметрии (равной 12) с координатами 000 (симметрия позиции ), (симметрия позиции ) и (симметрия позиции ) ¹ предпочтение отдается второй - реальному центру инверсии. После чего высоты всех полученных элементов симметрии приводятся к выбранному началу координат (рис. 122,, г).

Задание в начало элементарной ячейки вертикальной винтовой оси 3₁ и перпендикулярной к ней координатной оси 2_u на нулевом уровне обусловит появление всего осевого комплекса искомой группы Р3₁21. Действительно, ось 2_u будет повернута осью 3₁ на 120^o и поднята на 1/3 трансляции (рис. 123, а). Взаимодействие полученных осей с координатными трансляциями обусловит появление осей 3₁ в центрах построенных на них треугольников и чередование осей 2(2₁) вдоль каждой из этих трансляций на высоте исходной координатной оси 2. В вертикальном направлении наблюдается также чередование осей 2-го порядка, но одного типа, через полтрансляции (на высотах 0 и 1/2, 1/6 и 2/3, 1/3 и 5/6). Однако на графике, как всегда, приводятся лишь минимальные значения высот: 0, 1/6 и 1/3 соответственно (рис. 123, б). Начало координат выбирается в единственной частной позиции с одной степенью свободы - на поворотной оси 2-го порядка условно в точке пересечения ее с винтовой осью 3₁.

Рис. 124

Расположив в вершинах гексагональной Р-ячейки оси 6₂, найдем результат взаимодействия входящих в нее в качестве подгрупп осей 3₂ (=) и 2 (=) с координатными трансляциями , и : оси 3₂ окажутся в позициях и , оси 2-го порядка - на серединах координатных трансляций (рис. 124, а). Далее введенная на нулевой уровень координатная ось 2-го порядка (например, 2_x) повторится винтовой осью 6₂ через 60^o . При этом ось 2_u окажется на высоте , а ось 2_y - на высоте (рис. 124, б). Взаимодействие этих осей с исходной осью 6₂ даст тройку апофемальных осей также 2-го порядка, расположенных под углом 30^o к координатным в направлении вращения оси 6₂ и отстоящих от координатных на (рис. 124, в). При этом каждая из полученных осей за счет взаимодействия с координатными трансляциями решетки будет чередоваться в направлении этих трансляций с осями, себе подобными (если эти трансляции им перпендикулярны), и с осями иного типа (если они расположены по отношению к трансляциям косо).

Обратим внимание на то, что все вертикальные оси 2_z будут проходить через точку пересечения двух взаимно перпендикулярных осей 2, оси 3₂ пересекут все три апофемальные оси 2, скрещивающиеся на трех уровнях вдоль оси Z.

Начало координат в данной группе выбирают на оси 6₂ в точке с симметрией 222, где вертикальная ось 2 входит в качестве подгруппы главной оси 6₂ (рис. 124, г).

Рис.125

График пространственной группы удобно вычерчивать по следующей схеме: начать с построения графика ее примитивной гемиморфной подгруппы Р3m1, далее перейти к пр. гр. и затем, введя дополнительные векторы R-решетки, завершить построение. Поместив в вершину предварительно вычерченной гексагональной ячейки ось 3-го порядка, получим аналогичные оси и в ее вершинах, и в центрах треугольников, построенных на координатных трансляциях (см. с. 54). Задание лишь одной координатной зеркальной плоскости m ввиду взаимодействия ее с координатными трансляционными векторами приведет к появлению всего комплекса координатных плоскостей, при этом будет наблюдаться чередование m(b) (см. с. 220).В результате получим график пр. гр. Р3m1 (рис. 125, а).

Введение центра инверсии в начало координат, выбранное на оси 3-го порядка, приведет, с одной стороны, к появлению комплекса горизонтальных координатных осей 2-го порядка, чередование которых - 2(2₁) - обусловлено взаимодействием с координатными трансляциями, и, с другой стороны, - к дополнительным центрам инверсии на серединах этих трансляций (рис. 125, б). В результате будут вычерчен график пр. гр. с началом координат в не вызывающей сомнения позиции .

Для построения графика пр. гр. следует ввести в график пр. гр. два дополнительных вектора, центрируюших объем ячейки: и . Взаимодействия указанных векторов со всеми исходными симметрическими операциями пр. гр. приведут к появлению новых, результирующих операций, а следовательно, и элементов симметрии, их задающих. Рассмотрим каждое из взаимодействий.

Рис. 126

а) 3 ' и 3 ' . Взаимодействие исходной оси 3-го порядка с трансляционными векторами и , рассмотренное ранее при вычерчивании графиков пространственных групп кубической сингонии (см. с. 175 и рис. 99), обусловит появление винтовых: 3₁ в позиции и 3₂ в позиции (рис. 125, в).

б) и . Результат указанных взаимодействий приведет к появлению дополнительных центров инверсии на серединах центрирующих объем ячейки векторов (рис. 125, в).

в) Локализация всех центров инверсии на координатных зеркальных плоскостях симметрии позволит легко получить результат их взаимодействий: поворотные оси 2-го порядка, перпендикулярные плоскостям симметрии (m = 2 _m) на уровнях центров инверсии. Взаимодействие полученных осей 2 с координатными трансляциями обусловит их чередование с осями 2₁ в соответствующих направлениях. Аналогичный результат (оси 2 и 2₁) можно получить, рассмотрев взаимодействия исходных координатных осей 2 пространственной группы с дополнительными векторами гексагональной R-решетки. Например:

2_x ' = 2₁ на высоте ,

2_x ' = 2 на высоте (рис. 126 ) и т.д.

Рис. 127

г) Координатные зеркальные плоскости m, чередующиеся в Р-ячейке с плоскостями b (см. с. 220), будут взаимодействовать и с дополнительными векторами R-решетки. С одной стороны, вектор (рис. 127, а) окажется лежащим в зеркальной плоскости , что заставит эту плоскость одновременно "работать" и как клиноплоскость (обоз-начим ее r' ' ' [29, 30]) со специфическими компонен-тами скольжения, равными и , т.е. направ-ление скольжения этой клиноплоскости совпадет с узловым рядом вдоль телесной диагонали элемен-тарной ячейки:

100 --> --> --> 011 (рис. 127, а). С другой стороны, наличие в данной плоскости узловых рядов иной направленности сделает ее тождественной клиноплоскостям иного характера. Например, указанная зеркальная плоскость будет "работать" и как клиноплоскость r' ' ' ' и r' ' ' ' ' за счет присутствия в ней косых трансляционных векторов и , направленных вдоль узловых рядов: 010 --> --> --> 102 и 010 --> --> --> (рис. 127,а) и т.д. соответственно.

Взаимодействия все той же зеркальной плоскости , но уже с трансляционными векторами, не лежащими в ней, а расположенными по отношению к ней косо: ² и , обусловят ее чередование с клиноплоскостями иного характера - r' и r' ' . Разложив каждый из этих векторов на составляющие: (где , , , - короткая диагональ горизонтального сечения элементарной ячейки) и (где , , ), увидим, что первые две ( и ), дополняя операцию отражения в плоскости m скольжением вдоль двух - горизонтального и вертикального - направлений, превращают ее в клиноплоскость r' и r' ' соответственно, а третья - перпендикулярная - переносит возникшие клиноплоскости на свою середину. Таким образом, плоскость b, чередующаяся с зеркальной, оказывается тождественно равной сразу двум типам клиноплоскостей, трансляционные векторы которых направлены вдоль узловых рядов:

010 --> --> --> 102 и 100 --> --> --> 014 (рис. 127, б).

Следует отметить, что в повседневной кристаллографической практике для получения правильных систем точек конкретных пространственных групп эти плоскости не используются и представляют лишь теоретический интерес, ибо их действия всегда можно заменить действием привычных плоскостей симметрии и соответствующих трансляций. Самостоятельно, отдельно от породивших их элементов симметрии, эти клиноплоскости не существуют. Все это в какой-то степени объясняет отсутствие плоскостей r в перечнях элементов симметрии пространственных групп.

Рис. 128

Схема построения графика пространственной группы та же, что и симморфной группы : Р3с1 --> --> . Добавив к введенной в начало ячейки поворотной оси 3-го порядка координатную плоскость с, получим график пр. гр. Р3с1, где плоскости с будут чередоваться (см. с. 220) с клиноплоскостями n (рис. 128, а). Введение в начало координат этой группы (а следовательно, и на середины координатных векторов) центра инверсии обусловит появление горизонтальных осей 2-го порядка на высоте за счет присутствия вертикальной составляющей плоскостей с (= m ^. ). В результате получим график пр. гр. (рис. 128, б).

Взаимодействие симметрических операций этой пространственной группы с дополнительными трансляционными векторами R-решетки - и - обусловит появление дополнительных винтовых осей 3₁ и 3₂, центров инверсии и горизонтальных осей 2-го порядка. Особое внимание при постройке графика пространственной группы следует обратить на высоты осей 2-го порядка. По сравнению с пр. гр. , где оси 2 располагаются на уровнях центров инверсии, в группе каждая из них приподнята на половину вертикальной трансляционной компоненты плоскости c, т.е. на . В результате, если центр инверсии расположен на нулевом уровне, то соответствующая ему ось 2 () окажется на высоте (0+1/4 = 1/4); если центр инверсии будет на высоте , то ось 2 окажется на высоте (1/6+1/4=5/12); если центр инверсии имеет высоту , то ось 2 будет на высоте (1/3 + 1/4 = 7/12), а следовательно, и на высоте (рис. 128, в). Кроме того, если в пр. гр. начало координат выбирается однозначно в самой высокосимметричной позиции , то в пр. гр. есть две инвариантные позиции с одинаковой величиной симметрии (равной 6): и 32. Это делает возможным выбор начала координат в любой из них. И хотя предпочтение в Интернациональных таблицах отдано реальному центру инверсии, т.е. позиции , часто при описании той или иной кристаллической структуры (например, структуры кальцита CaCO₃, см. с. 332 ) начало координат выбирают на пересечении осей - в позиции 32.