Гидродинамика вулканических извержений сильновязких газонасыщенных магм

Защита состоится " 29 " ноября 2002 г. в 16 часов 20 минут на заседании диссертационного совета Д. 501.001.89 при Московском Государственном Университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119899, г. Москва, Воробьевы горы, главное здание МГУ, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

1. Общая характеристика работы.

Актуальность темы: Работа посвящена построению методами механики многофазных сред моделей течения магмы в канале вулкана и исследованию динамики различных режимов вулканического извержения. Сильновязким газонасыщенным магмам соответствуют два типа извержения: эксплозивный (истечение газо-пепловых струй из жерла вулкана) и экструзивный (медленное выдавливание лавовых куполов). Переход между этими режимами может происходить скачкообразно с изменением расхода на порядки величины в течение короткого времени, поэтому такие извержения представляют опасность для населения.

Важность изучения вулканических извержений методами механики сплошных сред обусловлена отсутствием прямых методов наблюдения процессов, происходящих в земной коре, редкостью крупных вулканических извержений, необходимостью прогноза и определения степени опасности конкретных вулканов. Магма представляет собой объект, обладающий уникальными физическими свойствами: аномально большой, переменной вязкостью, наличием растворенного в ней газа, выделяющимся при подъеме, сложными физико-химическими превращениями. При подъеме магмы по каналу в результате падения давления происходит изменение структуры потока от гомогенной жидкости до газовзвеси, сопровождающееся нуклеацией, ростом пузырьков, их частичным слиянием и разрушением образовавшейся пены.

Работы по моделированию течения магмы в канале вулкана для случая эксплозивного извержения начались около 20-ти лет назад, экструзивного - в последние 10 лет, однако, последовательного и строгого изучения этого процесса с точки зрения механики многофазных сред не производилось. Построенные модели рассматривали извержение в сильно упрощенной постановке, не учитывая важных физических процессов. Результаты исследований не позволили объяснить широкий спектр наблюдаемых явлений.

Таким образом, актуальность работы связана с необходимостью понимания механизмов вулканических извержений, интерпретации данных полевых наблюдений и оценки потенциальной опасности различных вулканов. К числу нерешенных проблем, в частности, относятся выявление механизмов перехода между экструзивными и эксплозивными извержениями, циклической активности вулканов, вулканических взрывов при экструзивных извержениях и другие.

Целью работы является:

Построение последовательных, замкнутых гидродинамических моделей течения магмы в канале вулкана с учетом современных данных о свойствах магмы, механизмах фазовых переходов и геометрии вулканических систем.

Численное и аналитическое исследование динамики процесса с выявлением роли определяющих параметров.

Выявление механизмов неустойчивости течений магмы для различных режимов извержений.

Интерпретация данных полевых наблюдений на активных вулканах. Оценка параметров вулканических систем, не поддающихся непосредственному измерению.

Научная новизна работы:

Построены замкнутые гидродинамические модели течения магмы в канале вулкана для различных режимов извержения.

Развита теория течений многофазных сред для описания нового класса течений среды с аномальными свойствами: аномальной большой вязкостью, сильно зависящей от состава магмы, сложными физико-химическими превращениями, большими перепадами давлений.

Предложен механизм фрагментации сильновязких пузырьковых жидкостей за счет набора избыточного давления в растущих пузырьках. Для описания этого процесса введен новый тип разрыва - волна дробления.

Показано, что при определенных условиях решения стационарных краевых задач по определению расхода магмы могут быть неединственными, что может приводить к скачкообразному изменению расхода магмы при плавном изменении параметров системы. Вскрыты механизмы, отвечающие за подобную неединственность решения.

Исследованы переходные процессы между стационарными режимами, показана возможность циклических колебаний расхода магмы во времени, наблюдаемая на многих извержениях.

В результате параметрического исследования впервые даны объяснения ряду наблюдаемых явлений, включая: механизм переходов между эксплозивными и экструзивными режимами извержения, причину приповерхностных землетрясений и деформаций земной поверхности при экструзивных извержениях, циклический характер извержений.

Оценены параметры вулканических взрывов, возникающих за счет обрушения лавового купола. Показано сильное влияние интенсивности массообмена и механизма фрагментации на динамику потока на выходе из канала.

Научная и практическая ценность работы состоит в построении методами механики сплошных сред последовательной теории эксплозивных и экструзивных извержений и разработке численных и аналитических методов из исследования. На основе результатов расчетов получены оценки для параметров вулканических систем для конкретных вулканов. Созданы программные продукты, которые в настоящее время используются для анализа динамики конкретных вулканических извержений.

Защищаемые положения.

Модели течения газонасыщенных магм в канале вулкана для случая эксплозивного и экструзивного извержения.

Критерий фрагментации сильновязких пузырьковых жидкостей в волне дробления.

Механизм перехода от экструзивных извержений к эксплозивным и обратно.

Механизм циклического изменения расхода в процессе экструзивного извержения, связанный с кристаллизацией магмы при подъеме.

Методика оценки параметров конкретных вулканических систем на основе их моделирования.

Перечисленные положения позволяют сформулировать основной результат работы как создание новой гидромеханической теории динамики вулканических извержений.

Апробация работы и публикации.

По результатам работы прочитан курс лекций в Геологическом институте Китайского сейсмологического Бюро, Пекин, 1-5 июля 2002 г.

Основное содержание диссертации опубликовано в 16 работах, в которых автору принадлежит постановка задач (совместно), построение математических моделей, разработка численных методов их решения и интерпретация результатов (совместно).

2. Содержание диссертации

В диссертации рассматриваются модели течения сильновязких, газонасыщенных магм, для которых характерны два режима извержения: эксплозивный, когда на поверхность выходит струя газовзвеси, и экструзивный - выдавливание высоковязких лавовых куполов.

Во введении описана физическая постановка и дан анализ существующих моделей течения магмы в канале вулкана. На основании анализа моделей сформулирован круг нерешенных вопросов и направления исследования.

В первой главе рассматривается стационарная модель эксплозивного извержения. Учитывается скоростная неравновесность между фазами и набор избыточного давления в пузырьках за счет вязкого сопротивления их росту. Сформулирован новый критерий фрагментации магмы, основанный на критическом избыточном давлении в пузырьках. Рассмотрено влияние определяющих параметров на скорость подъема магмы по каналу вулкана. Показано, что решение краевой задачи может быть не единственным, так что фиксированным условиям в очаге могут соответствовать два стационарных решения, со скоростями подъема, различающимися на порядки. Для малых скоростей подъема условия фрагментации магмы не реализуются, на поверхность вытекает пузырьковая магма. Режим с большими скоростями соответствует эксплозивному извержению. При квазистационарном изменения давления в очаге возможны переходы между режимами. Для неглубоких очагов происходит усиление интенсивности извержения при падении давления в очаге.

В первом параграфе сформулирована физическая постановка задачи. Магма истекает из очага извержения, расположенного в земной коре, в котором под давлением находится магма, содержащая расплав, кристаллы и растворенный газ. Течение в канале вулкана, связывающем очаг с земной поверхностью, в общем случае можно разбить на три области (Рис 1).

Рис 1. Схема течения магмы в канале вулкана в режиме эксплозивного извержения.

В нижней части канала, где давление p больше, чем давление насыщения растворенного газа p₀ = (c₀/k_c)² (c₀ - начальное содержание растворенного газа, k_c- коэффициент растворимости) течение гомогенно и имеет место обычная модель вязкой жидкости. В средней области, где p<p₀ имеет место течение пузырьковой жидкости. По мере подъема магмы в следствии ее дегазации и декомпрессии происходит рост пузырьков. За счет вязкого сопротивления их расширению давление в растущем пузырьке падает медленнее, чем давление в жидкости, что приводит к большим избыточным давлениям в растущем пузырьке $\Delta$ p= p_g-p_m( p_g - давление в пузырьке, p_m - давление в магме). Автором, совместно с Барминым [xxx], предложено считать, что когда $\Delta$ p превышает критическое значение, происходит разрушение (фрагментация) пузырьковой среды. Конкурирующим процессом, приводящим к падению избыточного давления является слияние пузырьков с образованием подвижной пористой среды и оттоком газа через систему взаимосвязанных пузырьков. Ранее такая постановка при моделировании не рассматривалась.

После фрагментации магмы в третьей верхней области происходит течение газовзвеси с мелкими и более крупными частицами. Процессы, происходящие в зоне фрагментации наиболее сложны и во многом определяют характер извержения. Зона фрагментации разделяет область тяжелой высоковязкой магмы и легкой газовзвеси, сопротивление движению которой, определяющееся турбулентной вязкостью газа, пренебрежимо мало. Поэтому суммарное сопротивление канала вулкана и средний вес смеси определяется положением уровня фрагментации в канале.

Во втором параграфе приведены оценки параметров течения, сформулированы упрощающие допущения, выписаны системы уравнений для всех зон течения и описан метод решения задачи.

В гомогенной зоне связь между падением давления и расходом находится из решения Пуазейля для круглой трубы с учетом силы тяжести, постоянной вязкости, плотности и скорости жидкости.

В пузырьковой жидкости решаются уравнения неразрывности для конденсированной фазы (расплав и кристаллы) и газа, уравнение импульса для конденсированной фазы и закон Дарси для движения газа в системе взаимосвязанных пузырьков, а также, уравнение Реллея-Ламба для описания неравновесности давлений в растущих пузырьках. Массообмен между растворенным газом и пузырьками считается равновесным, а температура смеси - постоянной. Сила сопротивления канала вулкана берется в форме Пуазейля с вязкостью, зависящей от концентраций растворенного газа и кристаллов, для вычисления проницаемости пузырьковой пены используются экспериментальные данные, полученные при продувке вулканических пемз. Считается, что когда разница давлений в пузырьке и окружающей жидкости достигает критического значения, происходит фрагментация магмы.

На волне дробления, разделяющей пузырьковую жидкость с газовзвесью, выписываются законы сохранения массы и импульса для конденсированной фазы и газа. Считается, что после фрагментации газовзвесь состоит из мелких и крупных частиц, так что мелкие частицы имеют ту же скорость, что и газовая фаза. Наличие мелких частиц существенно сказывается на скорости распространения малых возмущений. Массовая доля мелких частиц задается.

Для систем уравнений решается краевая задача определения расхода магмы по заданным параметрам в очаге, условиям на выходе из канала, его длине и диаметре. Считается, что если течение дозвуковое, то давление на верхней кромке канала равно атмосферному, в противном случае используется условие запирания - скорость смеси равна местной скорости звука.

В третьем параграфе представлены результаты расчетов по построенной модели. На Рис. 2. приведена стационарная зависимость скорости подъема магмы от давления в очаге для параметров эксплозивного извержения вулкана Маунт Сент. Хеленс (18 мая 1980 г.).

Рис. 2. Зависимость скорости подъема V магмы без пузырьков (сплошная), положения уровня фрагментации X_f (длинный пунктир) и уровня гомогенной жидкости в канале X_g от давления в очаге P_ch.

Скорость отнесена к критической V_* = $\rho$ _mgd²/32 $\mu$ _*( $\rho$ _m- плотность магмы без пузырьков, g - ускорение силы тяжести, d - диаметр канала, $\mu$ _* - характерная вязкость магмы). Давление - к давлению насыщения p₀.

Если давление в очаге меняется медленно по сравнению с временем подъема магмы, так что стационарное течение в канале успевает устанавливаться, возможно исследовать процесс извержения в квазистационарной постановке. Из Рис. 2 видно, что фиксированному давлению в очаге соответствует до двух стационарных режимов, со скоростями, различающимися на порядки. При этом в режиме с меньшими скоростями подъема фрагментация магмы не происходит, на поверхность выходит пузырьковая жидкость с опережающим истечением газа (экструзивный режим). В верхнем режиме на поверхность выходит струя газовзвеси, скорость которой равна местной скорости звука (эксплозивный режим). При этом переход с нижней ветви на верхнюю не может быть осуществлен при непрерывном изменении параметров вдоль стационарного решения.

При уменьшении давления в очаге в эксплозивном режиме расход уменьшается до точки С, а потом незначительно увеличиваться (участок CB). При очень маленьких давлениях в очаге (p_ch<0.05) стационарное решение, соответствующее эксплозивному извержению исчезает (точка В).

Правой границей экструзивного режима является точка А, в которой в течении достигаются условия фрагментации, а левой границей эксплозивного - точка В, где фрагментация прекращается. Излом в точке D в эксплозивном режиме связан с появлением в течении гомогенной зоны, значительный вес и сопротивление которой препятствует быстрому изменению расхода при изменении давления в очаге.

При уменьшении давления в очаге в эксплозивном режиме уровень фрагментации опускается. Сначала это связано в основном с сокращением длины гомогенной зоны, за счет уменьшения разности между давлением в очаге и давлением нуклеации. Затем длина пузырьковой зоны сокращается из-за того, что вязкость поступающей в канал из очага магмы увеличивается за счет отделения растворенного газа, поэтому вязкое сопротивление росту пузырька усиливается и условия фрагментации наступают раньше. На участке DC сокращение длины пузырьковой зоны недостаточно, поэтому расход монотонно уменьшается за счет уменьшения перепада давления. На участке СВ уровень фрагментации опускается значительно быстрее из-за сильной зависимости вязкости от давления при малых концентрациях растворенного газа и расход увеличивается. Уровень фрагментации при этом практически достигает кромки очага.

Подобная неоднозначная зависимость расхода от давления в очаге была ранее обнаружена в работах Слезина и Вудса при других предположениях о механизме фрагментации и оттоке газа из магмы. Полученная мим зависимость существенно отличается от рассчитанной в данной работе. Во-первых, решение между эксплозивным и экструзивным режимами отсутствует, тогда как в ранее полученных решениях зависимость S-образная. Во-вторых, предыдущие решения не показывают возможности усиления извержения перед его окончанием, хотя в нашей модели этот эффект при использованном наборе определяющих параметров незначителен.

Далее в этом параграфе исследовано влияние определяющих параметров - глубины очага, диаметра канала, температуры магмы, коэффициента фильтрации газа и других на скорость подъема магмы в канале.

В параграфе четыре проведено сравнение полученных результатов с данными полевых наблюдений извержения вулкана Маунт Сент Хеленс. Рассчитанные расходы магмы в экструзивном и эксплозивном режимах находятся в хорошем соответствии с оцененными для данного извержения.

Результаты расчетов позволили объяснить переход между эксплозивными и экструзивными режимами извержений за счет динамики роста пузырьков и оттока газа сквозь магму.

Во второй главе рассмотрены стационарные модели течения магмы в канале для случая экструзивного извержения. Поскольку время подъема магмы в этом режиме значительно больше, чем в эксплозивном, кристаллизация магмы при ее подъеме становится существенной. Задача рассмотрена в двух постановках: первая, где зависимость вязкости от концентрации кристаллов представляется ступенчатой функцией, скорость роста кристаллов и плотность магмы считаются постоянными, и вторая, с учетом реальной реологии магмы, кинетики кристаллизации и оттока газа через магму.

В первом параграфе приводятся сведения об экструзивных извержениях и обсуждаются основные физические процессы, сопровождающие подъем магмы по каналу в этом режиме.

Во втором параграфе описывается упрощенная модель подъема магмы, выводится аналитическое решение для связи скорости подъема магмы и давления в очаге, обсуждается возможность циклических режимов извержения и выявляется роль определяющих параметров. Данная модель будет рассмотрена подробнее ниже в нестационарной постановке.

В третьем параграфе описывается полная стационарная модель течения магмы в канале при экструзивном режиме извержения.

В $\S$ 3.1 обсуждается кинетика кристаллизации магмы. Магма представляет собой многокомпонентную среду, которая кристаллизуется в определенном диапазоне температур. Можно ввести температуры ликвидуса, при которой кристаллы в магме отсутствуют, и солидуса, при которой вся магма закристаллизовывается. Эти температуры сильно зависят от химического состава магмы, прежде всего от концентрации растворенной воды. При выделении воды из расплава при падении дааления температура ликвидуса увеличивается. Когда она становится выше температуры магмы, начинается рост кристаллов.

Теория кристаллизации магмы, разработанная М. Хортом, уточнена для учета зависимости коэффициента диффузии от концентрации растворенной воды. Введены две функции: скорость нуклеации I (1/м³с), определяющую количество зародышей, возникающих в кубическом метре за секунду, и линейную скорость роста кристаллов U (м/с).

В $\S$ 3.2 обсуждаются параметры извержения вулкана Суфриер Хиллз (о. Монтсеррат, 1995-2002), для которых впоследствии применяется данная модель. В частности предлагается выражение для определения зависимости вязкости смеси от объемной доли кристаллов, параметры в котором впоследствии находятся из сравнения с данными полевых наблюдений.

В четвертом параграфе формулируется система уравнений для описания процесса течения магмы при учете кристаллизации.

${\frac{{d}}{{dx}}}\rho _{m} (1 - \alpha )(1 - \beta )(1 - c)V = - G \quad{\frac{{d}}{{dx}}}\rho _{c} (1 - \alpha )\beta \,V = G$ ${\frac{{d}}{{dx}}}\rho _{m} (1 - \alpha )(1 - \beta )c = - J {\frac{{d}}{{dx}}}\rho _{g} \alpha V_{g} = J$	(а,б)
	(а,б)
${\frac{{dp}}{{dx}}} = - \rho g - {\frac{{32\mu V}}{{D^{2}}}} \quad \alpha \left( {V_{g} - V} \right) = - {\frac{{k(\alpha )}}{{\mu _{g} }}}{\frac{{dp}}{{dx}}}$	(в,г)
$\begin{array}{l} J = n\rho _{m} \left( {1 - \beta} \right)4\pi Da^{2}{\left. {{\frac{{\partial c}}{{\partial r}}}} \right\|}_{r = a} = \\ n\rho _{m} \left( {1 - \beta} \right)4\pi aD\left( {c - C_{f} \sqrt {p}} \right) \\ \end{array}$ $I\left( {c} \right) = I_{0} {\frac{{\mu \left( {c_{0}} \right)}}{{\mu \left( {c} \right)}}}\exp \left( { - \zeta _{i} {\frac{{T_{m} (c)}}{{T}}}} \right)\exp \left( { - \theta _{i} {\frac{{T_{m}^{3} (c)}}{{\left( {T_{m} (c) - T} \right)^{2}T}}}} \right)$ $U\left( {c} \right) = U_{0} {\frac{{\mu \left( {c_{0}} \right)\left( {T_{m} \left( {c} \right) - T} \right)}}{{\mu \left( {c} \right)T}}}\exp \left( { - \theta _{u} {\frac{{T_{m} \left( {c} \right)}}{{T}}}} \right)$	(д)	(1)
$\mu = \theta \left( {\beta} \right)\mu _{m} \left( {c} \right);\,\,\,\alpha = {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle {4}$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle {3}$}}\pi a^{3}n;\,nV = n_{0} V_{0} ;\,\,p = \rho _{g} RT$ $\log \left( {\theta \left( {\beta} \right) / \theta _{o}} \right) = \arctan \left( {\omega \left( {\beta - \beta _{\ast}} \right)} \right) + {\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle {\pi }$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle {2}$}}$	(е)

Здесь $\rho$ _m, $\rho$ _c и $\rho$ _g - плотности расплава, кристаллов и газа, соответственно, $\rho$ -плотность смеси, $\alpha$ и $\beta$ - объемные концентрации пузырьков и кристаллов (последняя отнесена к объему конденсированной фазы - смеси расплава и кристаллов). V и V_g - скорости магмы и газа, p -давление, c - массовая концентрация растворенного газа, $\mu$ , $\mu$ _m и $\mu$ _g- вязкости смеси, расплава и газа, соответственно, d - диаметр канала, k( $\alpha$ ) - коэффициент фильтрации газа через магму, D - коэффициент диффузии воды, R - газовая постоянная, T - температура, T_m- эффективная температура плавления, a - радиус пузырька, n - количество пузырьков в единице объема, х - вертикальная координата, отсчитываемая от очага извержения.

Система (1) состоит из уравнений неразрывности для расплава, кристаллов и газа - растворенного и в свободной фазе (а,б), уравнения импульса для смеси в целом с учетом сил тяжести и сопротивления канала вулкана, но без учета инерционного члена, закона Дарси для движения газа в пористой магме (в,г) и уравнений, описывающих кинетику кристаллизации и выделения газа из расплава, а также физические свойства магмы (д,е). Для определения потока массы к растущим пузырькам используется аналитическое решение уравнения диффузии в квазистационарном приближении.

Для системы (1) решается краевая задача с заданными параметрами в очаге и давлением равным атмосферному на выходе из канала вулкана.

Поскольку константы, входящие в зависимость вязкости от объемной доли кристаллов $\theta$ ( $\beta$ ) в настоящее время не известны, нами проведено их определение путем сопоставления расчетной зависимости расхода от высоты лавового купола с данными наблюдений. Были использованы измерения высот лавового купола для октября-ноября 1996 г., поскольку за этот период данные были наиболее полными. Проведена минимизация отклонения расчетного решения H(Q) (здесь Q - объемный расход магмы на выходе из канала вулкана) от данных наблюдений H_i. На рис. 3 (а) приведена расчетная кривая H(Q), данные наблюдений отмечены точками, график $\theta$ ( $\beta$ ) - на фиг. 3 (б). Без учета увеличения вязкости магмы за счет кристаллизации необходимое увеличение высота лавового купола для уменьшения расхода с 2 до 0.15 м³/c составляет около 700 м, что в 6 раз больше наблюдавшегося.

Рис. 3. Зависимость расхода магмы от высоты лавового купола (а) и зависимость вязкости магмы от объемной доли кристаллов (б). Штриховая линия на (а) соответствует расчетам без учета кристаллизации. Вязкость магмы на (б) представлена при атмосферном давлении.

Из рис. 3 видно, что при определенной высоте лавового купола решение становится неединственным. При уменьшении расхода за счет роста лавового купола время кристаллизации становится сравнимо с временем подъема магмы. Уменьшение расхода приводит к увеличению количества кристаллов, следовательно, к росту вязкости магмы. Для снижения сопротивления необходимо дальнейшее уменьшение расхода, что в в результате приводит к нестационарному переходу на низкоинтенсивный режим (штриховая линия), характеризующийся большой степенью закристаллизованности магмы.

Рис. 4 Профили давления и избыточного над литостатическим давления в канале для трех значений расхода магмы(с рис 3). Длинным пунктиром показан профиль литостатического давления для нулевой высоты купола.

Расчеты показали наличие максимума избыточного над литостатическим давления в канале вулкана (рис. 4). Этот максимум расположен на глубинах менее километра и составляет порядка 5-8 МПа. В процессе подъема магмы за счет роста пузырьков ее плотность уменьшается, поэтому давление в нижней части канала падает медленнее литостатического, поскольку сила сопротивления мала. В верхней части канала за счет резкого возрастания вязкости сила сопротивления увеличивается и давление падает быстрее литостатического, что приводит к наличию максимума избыточного давления.

Рассчитанные положение и величина максимума избыточного давления совпадают с независимыми оценками по данным измерений деформаций земной поверхности, объясняют их причину и выявляют механизм приповерхностных землетрясений и вулканических взрывов.

На основании расчетов распределения скоростей нуклеации и роста кристаллов по каналу вулкана вычислено их распределение по размерам на выходе из канала вулкана. Для режима с малым расходом оно бимодальное, отвечающее двум этапам нуклеации - в глубине и вблизи поверхности. Распределение кристаллов может быть использовано для интерпретации данных наблюдений, поскольку может быть измерено для реальных образцов магмы.

Наличие неоднозначного стационарного решения позволяет предположить возможность циклического изменения расхода во время экструзивного извержения. Этот процесс исследуется в нестационарной постановке в третьей главе.

В первом параграфе рассматривается нестационарный аналог упрощенной модели подъема магмы.

В параграфе 3.1 система уравнений выписывается в следующих предположениях: магма несжимаемая жидкость, с вязкостью, ступенчато зависящей от концентрации кристаллов, все кристаллы образуются в очаге извержения и линейная скорость их роста постоянна.

$\begin{array}{l} {\frac{{\partial V}}{{\partial x}}} = 0;\,\,\,\,\,{\frac{{\partial n}}{{\partial t}}} + {\frac{{\partial nV}}{{\partial x}}} = 0 \\ \,{\frac{{\partial p}}{{\partial x}}} = - \rho g - {\frac{{32\mu V}}{{d^{2}}}};\,\,\,\mu = {\left\{ {\begin{array}{l} {\mu _{1} ;\,\,\,\,\beta < \beta _{\ast}} \\ {\mu _{2} ;\,\,\beta > \beta _{\ast}} \\ \end{array}} \right.} \\ {\frac{{\partial \beta}} {{\partial t}}} + V{\frac{{\partial \beta }}{{\partial x}}} = 4\pi R^{2}nU;\,\,\beta = {\frac{{4}}{{3}}}\pi R^{3}n \\ \end{array}$ (2)

В системе (2) V - скорость подъема магмы, n - число кристаллов в единице объема, p - давление, $\rho$ - плотность, $\mu$ - вязкость, d - диаметр канала, R, $\beta$ , U - радиус, объемная доля и скорость роста кристаллов.

В качестве граничных условий примем, что давление на верхней границе (х = L) равно нулю, скорость изменения давление в очаге (х = 0) пропорциональна разности расходов подтекающей и вытекающей магмы. Концентрация и количество кристаллов в очаге считаются постоянными.

$\begin{array}{l} x = 0\,:\,\,\,{\frac{{dp_{ch}}} {{dt}}} = - {\frac{{E}}{{\Omega _{ch} }}}\left( {4\pi d^{2}V - Q_{in}} \right); \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\beta = \beta _{ch} = const,\,n = n_{ch} = const \\ x = L:\,\,\,p = 0 \\ \end{array}$

(3)

Здесь Q_in - расход подтекающей в очаг извержения магмы, E - модуль упругости горных пород, окружающих очаг, $\Omega$ _ch - объем очага. Приведенное выражение соответствует очагу сферической формы в упругих породах, заполненному несжимаемой жидкостью. В качестве начального условия использовано решение стационарной задачи (2).

Система (2) с граничными условиями была проинтегрирована и сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Процесс течения описывается четырьмя безразмерными параметрами:

$\mu = {\frac{{\mu _{2}}} {{\mu _{1}}} };\,\,\kappa = {\frac{{\pi d^{2}E}}{{4\Omega _{ch} \rho g}}};\,\,\psi = {\frac{{\left( {{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle {4}$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle {3}$}}\pi n_{ch}} \right)^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle {1}$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle {3}$}}}LU}}{{u_{\ast} \left( {\beta _{\ast }^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle {1}$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle {3}$}}} - \beta _{ch}^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle {1}$}\kern-0.1em/\kern-0.15em\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle {3}$}}}} \right)}}};\,\,V_{in} = {\frac{{4Q_{in}}} {{\pi d^{2}u_{\ast} }}};\,\,u_{\ast} = {\frac{{\rho gd^{2}}}{{32\mu _{1}}} }$

Первый отвечает за отношение вязкостей, второй - за скорость изменения давления в очаге, третий - за скорость роста кристаллов, четвертый за интенсивность подтока магмы в очаг.

Стационарное решение системы (2) состоит из трех ветвей (рис. 4, пунктирная кривая). Если критическая концентрация кристаллов в канале не достигается, то перепад давления пропорционален скорости как в решении Пуазейля, в противном случае давление в очаге квадратично зависит от скорости и имеются два решения.

Во параграфе 3.2 приведен качественный анализ системы ОДУ и получено аналитическое решение для периода колебаний расхода в случае квазистационарного изменения давления в очаге (k<<1).

В параграфе 3.3 представлены результаты расчетов.

В $\S$ 3.3.1 рассматривается динамика извержения при неизменном диаметре канала вулкана. Если расход подтекающей магмы соответствует верхнему или нижнему стационарному режимам, то извержение стабилизируется с V = V_in. На рис. 4 приведены зависимости V/V_in от давления в очаге p_ch и времени t, когда V_in соответствует промежуточному стационарному режиму, который неустойчив при постоянном давлении в очаге. Начальное условие соответствует стационарному решению на нижнем режиме (точка О)

Рис. 4 Зависимость скорости подъема магмы от давления в очаге и от времени.

В этом случае асимптотическое поведение решения зависит от величины k. При малых k, то есть большом объеме очага извержения, устанавливается циклический режим извержения, с колебаниями расхода большой амплитуды. При больших k извержение стабилизируется с V = V_in. Существует критическое значение k = k_*, зависящее от параметров задачи, при котором осуществляется переход от одного режима к другому. Чем меньше k превышает критическое значение, тем больше время выхода на стационарный режим.

В случае докритических значений k нестационарное решение на плоскости V-p_chвначале идет близко к стационарной кривой вдоль нижнего режима (тем ближе, чем меньше величина k), затем нестационарно переходит на верхний режим и идет по нему до V = V(C) при монотонном падении давления и скорости. От точки С система нестационарно переходит на нижний режим. Цикл замыкается.

При закритических значениях k при V > V_in давление в очаге начинает падать настолько быстро, что решение не достигает верхнего режима, наоборот при уменьшении V<V_in давление быстро растет, так что скорость увеличивается не достигнув нижнего режима. Происходит стабилизация извержения с V = V_in.

Исследована зависимость периода колебаний магмы от определяющих параметров системы. При малых k аналитическое решение, полученное в $\S$ 3.2, хорошо аппроксимирует результаты расчетов.

В $\S$ 3.3.2 рассмотрено течение в цилиндрическом канале с площадью поперечного сечения, зависящей только от времени. Изменение диаметра канала находилось из осе-симметричного решения задачи о расширении цилиндрической полости в жидкости постоянной вязкости. Показано, что при медленном изменении диаметра канала, возможен переход от стабильного к пульсирующему режиму извержения. Это связано с медленным изменением стационарного решения в результате изменения диаметра канала с переходом V_in с нижней к верхней ветви стационарного решения через промежуточную.

В $\S$ 3.3.3 модель применяется к двум хорошо изученным экструзивным извержениям вулканов Маунт Сент Хеленс (1980-1987) и Сантьсгито (1922-2002). На рис. 5 показано сравнение результатов расчетов для второго из вулканов.

Рис. 5 Реконструкция хода извержения вулкана Сантьягито (1922-2002). Сплошная кривая - расчет, пунктир - наблюдения.

Расчеты позволяют объяснит периодическое изменение расхода, правильно воспроизводят период извержения и соотношения между периодами повышенной и пониженной активности. Изменение максимума расхода и тенденция к стабилизации извержения могут быть следствием падения расхода подтекающей магмы, эволюции канала или изменения в физических свойствах магмы. В рамках данной модели, однако, эти процессы не рассматриваются. По результатам расчетов восстановлены параметры вулканической системы, такие как объем очага и диаметр канала, непосредственное измерение которых в настоящее время невозможно.

Во втором параграфе рассматривается нестационарный аналог полной модели, описываемой системой уравнений (2).

В $\S$ 3.2.1 выписывается система уравнений с учетом переменности поперечного сечения канала вулкана. Найдено аналитическое одномерное нестационарное решение задачи о расширении цилиндра в вязко-упругих породах.

В $\S$ 3.2.2 обсуждаются граничные условия. В частности, выведена формула для связи между давлением и массой вещества в очаге, окруженном упругими породами, с учетом сжимаемости магмы при наличии пузырьков газа.

В $\S$ 3.2.4 приведены результаты расчетов по полной модели. В $\S$ 3.2.4.1 рассматривается течение в канале постоянной длинны и поперечного сечения. Подтверждено наличие двух режимов - стационарного и циклического, ранее полученного для упрощенной модели.

В $\S$ 3.2.4.2 показано влияние изменения длины канала за счет нарастания лавового купола на динамику извержения. Повторены в нестационарной постановке расчеты для вулкана Суфриер Хиллз (рис 3). В этом случае растущий купол аппроксимировался усеченным конусом с верхним основанием, равным диаметру канала. Результаты расчетов по модели сравнивались с данными по изменению высоты купола во времени. Сравнение показало хорошее совпадение расчетов и наблюдений.

Также рассмотрены сценарии пульсирующих извержений с непрерывным ростом лавового купола и с чередованием роста и обрушения купола при достижении им определенной высоты. Расчеты показали, что обрушение купола сопровождается резким увеличением расхода магмы, что соответствует данным наблюдений.

В $\S$ 3.2.4.3 рассмотрено влияние изменения объемной доли кристаллов в очаге извержения на расход магмы на выходе. К подобным изменениям могут приводить всплытия порций горячей магмы в очаге. Показано, что периодическое изменение $\beta$ _ch приводит к существенному периодическому изменению расхода на выходе из канала, только если оно происходит в период высокой активности вулкана, когда кристаллизация магмы в канале несущественна из за большой скорости подъема магмы. Результаты расчетов позволяют предложить возможное объяснение 6-7 недельной цикличности в активности вулкана Суфриер Хиллз в максимуме 2-3 годичного цикла извержения.

В $\S$ 3.2.4.4 исследуется влияние неньютоновских свойств магмы на динамику извержения. Магма представляется жидкостью Бингама с пределом текучести, зависящим от объемной доли кристаллов. Показано, что при этом период колебаний расхода и их амплитуда возрастают по сравнению со случаем ньютоновской жидкости. Это связано с тем, что в промежутке между пиками активности расход практически равен нулю для бингамовской модели магмы, поэтому происходит значительный набор давления в очаге. Паузы в процессе экструзивных извержений наблюдаются достаточно часто, предложенная модель может служить их объяснением.

В $\S$ 3.2.4.5 рассматривается влияние теплоты кристаллизации на параметры извержения. Показано, что ее учет приводит к уменьшению амплитуды и периода колебаний расхода. Повышение температуры при кристаллизации уменьшает ее интенсивность, соответственно, приводит к уменьшению средней вязкости магмы как за счет меньшей объемной доли кристаллов, так и за счет большей температуры. При типичных параметрах изменения вязкости может достигать полуторых порядков.

В $\S$ 3.2.4.6 полная модель применяется для моделирования извержения вулкана Сантьягито. В рамках этой модели удалось объяснить тенденцию к стабилизации извержения, связанную с изменением химического состава магмы. Начиная с 1970 г. содержание оксида кремния в магме линейно падало с 65 до 62 % (в 2001 г.). Такое падение привело к уменьшению вязкости магмы на ~ 30 % и увеличению скорости роста кристаллов, обратно пропорциональной вязкости. При этом область циклических режимов смещается в сторону больших расходов подтекающей в очаг магмы и при фиксированном подтоке происходит стабилизация извержения. Подтверждением уменьшения вязкости магмы служит также переход от роста лавовых куполов в процессе извержения к излиянию вязких лавовых потоков.

Рассчитанные параметры магматической системы для вулкана Сантьягито оказались близки к предварительно оцененным с помощью упрощенной модели и хорошо совпадают с данными независимых измерений для параметров, где подобные данные имеются.

В четвертой главе рассмотрено развитие во времени вулканического взрыва, вызванного обрушением лавового купола. После обрушения происходит резкое падение давления на верхней кромке канала вулкана, и вглубь него распространяется волна разрежения. За ней происходит резкий рост пузырьков, приводящий к фрагментации магмы и эксплозивному выносу образовавшейся газовзвеси на поверхность. Переход от роста лавового купола к эксплозивному извержению наблюдался на многих вулканах. Рассмотрение динамики эксплозивного извержения велось на примере извержения вулкана Суфриер Хиллз, однако, построенная модель может быть использована и для описания других извержений.

В первом параграфе делаются оценки применимости и выписывается одномерная нестационарная система уравнений. Сделаны следующие упрощающие допущения: кристаллизацией и фильтрацией газа через магму можно пренебречь из-за малости времени процесса эксплозивного извержения; течение изотермическое из-за большой теплоемкости частиц и интенсивного теплообмена с газовой фазой; частицы мелкие, так что их скоростью относительно газа можно пренебречь по сравнению со скоростью потока.

Рассматриваются два предельных случая массообмена между растворенным газом и пузырьками - его отсутствие или равновесный массообмен. Первый случай соответствует малой интенсивности диффузии, так что за характерное время процесса подтоком газа к пузырькам можно пренебречь. Во втором случае диффузия столь эффективна, что любое пресыщение магмы растворенным газом мгновенно переходит в пузырьки. Для учета конечности коэффициента диффузии следует решать уравнение диффузии вокруг растущего пузырька, что делает задачу существенно двумерной.

Система уравнений, описывающая течение в канале, в приведенных выше предположениях имеет общий вид как для пузырьковой жидкости, так и для газовзвеси, где полагается $\mu$ =0:

${\frac{{\partial \rho _{g}}} {{\partial \,t}}} + {\frac{{\partial \rho _{g} V}}{{\partial \,x}}} = 0,\;\;\;\;\;\;{\frac{{\partial \rho _{l}}} {{\partial \,t}}} + {\frac{{\partial \rho _{l} V}}{{\partial \,x}}} = 0,\;\;\;\;\;{\frac{{\partial \,n}}{{\partial \,t}}} + {\frac{{\partial \,n\,V}}{{\partial \,x}}} = 0,$	(а,б,в)
${\frac{{\partial \rho \,V}}{{\partial \,t}}} + {\frac{{\partial \,\left( {\rho V^{2} + \,p_{l}} \right)}}{{\partial \,x}}} = \,\,\,\; - \left( {\rho g + {\frac{{32\mu V}}{{d^{2}}}}} \right),$ ,	(г)	(4)
${\frac{{\partial a}}{{\partial t}}} + V{\frac{{\partial a}}{{\partial x}}} = {\frac{{a}}{{4\mu}} }_{m} \left( {p_{g} - p_{m}} \right),$ ,	(д)
$p_{g} = \rho _{g}^{0} RT,\;\;\;\;\,\,\,\,\,\,\;\alpha = {\frac{{4\pi}} {{3}}}a^{3}n.$ .	(е)

Здесь a - радиус пузырька, p_m - давление в конденсированной фазе. Уравнение (д) получается из уравнения Рэлея-Ламба без учета инерционных членов. Фрагментация магмы происходит в волне дробления, перед которой избыточное давление в растущем пузырьке достигает критического значения. После фрагментации сила сопротивления канала определяется турбулентным движением газовой фазы, при этом ее вклад в уравнение импульса пренебрежимо мал.

В качестве начальных условий используется стационарное решение задачи о подъеме магмы в канале при росте лавового купола без учета кристаллизации, а для случая равновесного массообмена - также и без учета фильтрации.

Граничные условия в очаге - задание постоянного давление и других параметров, характеризующих магму. На выходе из канала, если поток сверхзвуковой, условия не выставляются, в противном случае либо задается давление, равное атмосферному, либо, если оно выше атмосферного, скорость полагается равной скорости звука. Подобные граничные условия позволяют исключить рассмотрение внешней задачи течения струи в атмосфере и обеспечивают плавный переход от сверхзвукового течения к дозвуковому.

Во втором параграфе приведен численный метод решения задачи, основанный на методе разделения потоков.

В третьем параграфе рассматриваются результаты численных расчетов и исследуется влияние интенсивности массообмена и критерия фрагментации на динамику извержения.

На рис. 5 приведены зависимости расхода и положения волны дробления от времени для случая равновесного массообмена (а) и его отсутствия (б). В качестве критерия фрагментации используется избыточное давление в растущем пузырьке (Параметры на кривых - значения критического избыточного давления (МПа)) или фрагментация при достижении объемной долей пузырьков критического значения (пунктирная кривая).

(а)

(б)

Рис. 5 Зависимости расхода (Q) и глубины уровня фрагментации (L_F) от времени для случая равновесного массообмена (а) и его отсутствия (б).

В случае равновесного массообмена продолжительность извержения порядка часа, максимальный расход достигается в течение первых 10 секунд. Процесс фрагментации происходит в несколько этапов. При продвижении волны дробления вглубь по каналу давление в газовзвеси сразу после нее увеличивается, поскольку газовзвесь не успевает эвакуироваться из канала за счет большой инерции частиц. В пузырьковой жидкости перед фрагментацией давление также растет. Количество растворенного газа в магме увеличивается (c ~ p^1/2), что приводит к уменьшению вязкости магмы перед фрагментацией, а, следовательно, к релаксации избыточного давления в пузырьках. Это, в конечном итоге, приводит к остановке процесса фрагментации (критерий фрагментации перестает выполняться). При остановке волны дробления давление в разрушенной газовзвеси падает, что приводит к падению давления в нераздробившейся магме. При этом ее вязкость увеличивается за счет оттока растворенного газа, давление в пузырьках не успевает отслеживать изменение давления в жидкости, и перепад давлений снова достигает критического значения. Происходит новая фрагментация, в результате которой вещество впрыскивается в зону газовзвеси, вверх по каналу распространяется волна сжатия, что вызывает увеличение расхода на выходе из канала вулкана. Этот процесс повторяется, и волна дробления практически достигает кромки очага.

При отсутствии массообмена продолжительность извержения порядка 100-300 с, максимальный расход как и при равновесном массообмене достигается за время порядка 10 с, посколькуон контролируется в основном инерцией газовзвеси. Волна дробления уходит вглубь канала, превращая магму в газовзвесь в течение 5-6 с. На глубине 600-1200 м фрагментация прекращается, магма поднимается вверх без дробления, а газовзвесь эвакуируется из канала при постепенном снижении расхода.

В четвертом параграфе приведено сравнение результатов расчетов с данными полевых наблюдений вулкана Суфриер Хиллз, где эксплозивные извержения представлены двумя эпизодами: извержением 17 сентября 1996 г. продолжительностью около 40 минут и серией короткоживущих вулканических извержений с продолжительностью порядка 1 минуты в августе и октябре 1997 г. Модель с равновесным массообменом воспроизводит характеристики продолжительного извержения, модель при отсутствии массообмена - кратковременные вулканически взрывы. В Таблице 1 приведено сравнение результатов расчетов с наблюдениями.

Равновесный массообмен

Параметр	Расчет	Наблюдения
Продолжительность	32 -67 мин	40 мин
Максимальная скорость	275-280 м/c	180-230 м/c
Глубина опустошения канала	3500-5000 м	4500 м
Масса извергнутого материала	1.7- 5.2 10⁹ кг	3.5 10⁹ кг

При отсутствии массообмена.

Параметр	Расчет	Наблюдения
Продолжительность	100 -600 с	60-300 с
Максимальная скорость	118-142 м/c	120-130 м/c
Глубина опустошения канала	200-1400 м	200-1000 м
Объем материала	10⁵-1.2 10⁶ м³	2 10⁵- 10⁶ м³

Таблица 1 Сравнение расчетных данных с результатами наблюдений.

Рассчитанные параметры потока близки к измеренным на извержении за исключением скорости смеси на выходе в случае равновесного массообмена. Значение рассчитанной скорости при равновесном массообмене выше, чем по данным наблюдений. Это связано с тем, что модель не учитывает диффузионной задержки выделения газа из расплава, поэтому его объемная доля оказывается большей, чем в реальности.

На зависимости выхода сейсмической энергии от времени при извержении 17 сентября явно выделяются несколько пиков сейсмической активности. Объяснением этому может служить прерывистый характер фрагментации магмы. При каждом периоде фрагментации давление в освободившейся от магмы части канала резко падает, что может приводить к генерации сейсмических волн, распространяющихся по горным породам. Несоответствие между рассчитанными интервалами между пиками, возможно, связано с диффузионной задержкой роста пузырька, не учитываемой в данной модели, и, соответственно, с более медленным изменением вязкости магмы. Возможно, отток газа через сеть соединенных пузырьков также замедляет эффект повторной фрагментации.

3. Основные результаты и выводы

Построены гидродинамические модели течения магмы в канале вулкана для различных режимов извержения.

Развита теория течений многофазных сред для описания нового класса течений среды с аномальными свойствами: аномально большой, сильнопеременной вязкостью, сложными физико-химическими превращениями, большими перепадами давлений.

Решены стационарные краевые и нестационарные задачи определения расхода магмы при заданных параметрах в очаге и на выходе из канала вулкана.

Показано, что при определенных условиях решения стационарных задач могут быть неединственными, что может приводить к скачкообразному изменению расхода магмы при плавном изменении параметров системы. Вскрыты механизмы, отвечающие за подобную неединственность решения.

Исследовано влияние определяющих параметров на динамику извержения. Для конкретных вулканических извержений сделаны оценки параметров вулканических систем, не поддающихся непосредственному измерению.

Даны объяснения ряду наблюдаемых явлений, включая: механизм переходов между эксплозивными и экструзивными режимами извержения, причину приповерхностных землетрясений и деформаций земной поверхности при экструзивных извержениях, циклический характер извержений.

Созданы программные продукты, которые в настоящее время используются для анализа динамики конкретных вулканических извержений.

Таким образом, в представленном исследовании проведено последовательное применении методов механики сплошных сред к моделированию различных типов вулканических извержений, дано объяснение многим наблюдаемым явлением и заложена основа для развития методов прогнозирования вулканической опасности.

Публикации

Результаты работы представлены в следующих публикациях:

Статьи в реферируемых изданиях:

Бармин А.А., Мельник О.Э. Течение загазованной магмы в канале вулкана// Известия РАН, сер. МЖГ. 1990. N 5. C. 35-43.

Бармин А.А., Мельник О.Э. Об особенностях динамики извержения сильновязких газонасыщенных магм// Известия РАН, серия МЖГ. 1993. N 2. C. 49-60.

Слезин Ю.Б., Мельник О.Э. Динамика газопирокластического извержения с высоковязкой магмой// Вулканология и сейсмология. 1994. N 1. С. 3-12.

Бармин А.А., Мельник О.Э. Моделирование нестационарных процессов при вулканическом извержениях сильновязких газонасыщенных магм// Вестник Московского Университета, Сер. 1 Математика и Механика. 1996. N 4. C. 91-98.

Мельник О.Э. Моделирование переходных процессов при вулканических извержениях сильновязких газонасыщенных магм// Известия. РАН, сер. МЖГ. 1996. N 4. C. 78-85

Бармин А.А., Мельник О.Э. Математическое динамики вулканического извержения газонасыщенных магм// Проблемы современной механики. К 60-летию акад. В.П. Мясникова. 1996. C. 96-111.

Марков В.В., Мельник О.Э. Моделирование динамики распространения продуктов вулканических извержений в атмосфере// Труды МИАН, К 90-летию акад. Л.И. Седова. 1998, 223, С. 207-212.

Бармин А.А., Мельник О.Э. Математическое моделирование процесса извержения вулкана в случае загазованных магм// Вестник РАЕН, Секция Физика. 1999. N 5. C. 78-90.

Melnik O.E. Volcanology: Fragmenting magma// Nature. 1999. 397. P. 394-395.

Melnik O.E., Sparks R.S.J. Non-linear dynamics of lava dome extrusion// Nature. 1999. 402. P. 37-41.

Melnik O.E. Dynamics of two-phase conduit flow of high-viscosity gas-saturated magma: Large variations of sustained explosive eruption intensity.// Bulletin of Volcanology. 2000. 62. P. 153-170.

Мельник О.Э. Нестационарная модель динамики вулканического извержения с учетом кристаллизации и фильтрации газа через магму.// Доклады Академии Наук. 2001. 377. N 5, с 629-633.

Бармин А.А., Мельник О.Э. Гидродинамика вулканических извержений//Успехи Механики,2002, N 1.

Barmin A., Melnik O., Sparks R.S.J. Periodic behavior in lava dome eruptions. //Earth and Planetary Science Letters, 2002, v.199, P. 173-184

Melnik O.E., Sparks R.S.J. Dynamics of magma ascent and lava extrusion at Soufriere Hills Volcano, Montserrat.// in The eruption of Soufriиre Hills Volcano, Montserrat, from 1995 to 1999. T.H. Druitt and B.P. Kokelaar. 2002.

Melnik O.E., Sparks R.S.J. Modeling of conduit flow dynamics during explosive activity at Soufriere Hills Volcano, Montserrat.// in The eruption of Soufriиre Hills Volcano, Montserrat, from 1995 to 1999. T.H. Druitt and B.P. Kokelaar. 2002.

Тезисы докладов на Российских и международных конференциях:

Мельник О.Э. Математическое моделирование вулканического извержения // Тезисы доклада на конференции "Численные методы и математическое моделирование", Владивосток, 1989.

Мельник О.Э. Моделирование вулканического извержения плинианского типа // Сб. трудов V всесоюзной конференции "Актуальные вопросы геофизики", Переславль-Залесский ,1990.

Мельник О.Э.,Слезин Ю.Б. Неустойчивость двухфазного потока в канале вулкана как причина катастрофического усиления извержения//Аннотация доклада Vll всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике.

Мельник О.Э. Нестационарные процессы в динамике вулканического извержения(тезисы. Школы-семинара "Современные проблемы аэрогидродинамики", Севастополь, 10-19 сентября 1994г.)// Известия РАН, сер. МЖГ,N 3,1995

O.E. Melnik, R.S.J. Sparks The influence of fragmentation criterion on explosive dynamics in high-viscous gas-saturated magmas// IUGG-1999, Birmingham,26-30 July, 1999

Melnik, O and Sparks , R S J. Nonlinear dynamics of lava dome extrusion (abs)// Proceedings of the Royal Society Discussion Meeting -Causes and consequences of eruptions of Andesite volcanoes, London, UK, October 1999.

Бармин А.А., Мельника О.Э. Нелинейные модели роста лавового купола и эксплозивных извержений, вызванных его разрушением// Современные проблемы механики. Тезисы докладов конференции, посвященной 40-летию Института Механики МГУ, 22-25 ноября 1999.

Melnik, O and Sparks , R S J. Dynamics of explosive eruptions at the Soufriere Hills volcano, Montserrat(abs)//Proceedings of the Royal Society Discussion Meeting -Causes and consequences of eruptions of Andesite volcanoes, London, UK, October 1999.

Бармин А.А., Мельник О.Э. Нелинейные модели роста лавового купола и эксплозивных извержений, вызванных его обрушением//САМГОП, 2000, Пермь,24 июня - 1 июля, 2000

O.E. Melnik, R.S.J. Sparks Unsteady conduit flow model for the case of lava dome extrusive eruption//IAVCEI general assembly, 2000, Bali, Indonesia, 18-22 July 2000

Бармин А.А., Мельника О.Э. О влиянии кристаллизации и фильтрации газа через магму на динамику вулканического извержения//Ломоносовские чтения 2000,СЕКЦИЯ МЕХАНИКИ

O.E. Melnik, W.I. Rose, E.A. Fedotova Modeling of Discharge Rate Variations on Santiaguito Volcano, Guatemala//AGU 2001, San Fransisco, 10-14 December 2001

R.S.J. Sparks, A.A. Barmin,O.E. Melnik Periodic behaviour in lava dome eruptions//AGU 2001, San Francisco, 10-14 December 2001

А.А. Бармин, О.Э Мельник Модели течения сильновязких, газонасыщенных магм в канале вулкана.(секционный доклад)//VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Пермь, 23-29 авг. 2001

Melnik, O., Sparks, R.S.J. and Voight Causes of pulsatory andbperiodic behaviours in volcanic eruptions//Proceedings of Cities on Volcanoes 2, Auckland, New Zealand. February 2001.

O. Melnik, R.S.J. Sparks, A. Barmin Periodic behaviour in lava dome eruptions// Montagne Pelee 1902-2002, Explosive Volcanism in Subduction Zones, Saint-Pierre, Martinique, May 12-16, 2002

Sparks, R.S.J., Barmin, A., Melnik, O. and Voight, B. Conduit flow and periodic behavior in lava dome eruptions//International Workshop on Unzen Scientific Drilling Project, Sapporo, Japan, 26-29 January,2002.

А.А. Бармин, О.Э. Мельник, Е.А. Федотова Гидродинамика вулканических извержений сильновязких газонасыщенных магм// Математика, Механика, Информатика 2002, 10-летие РФФИ, 14 -18 октября 2002

Полные данные о работе

Геологический факультет МГУ

Проект осуществляется при поддержке:
Геологического факультета МГУ,
РФФИ