|
[Павлов Д.С.] <Математический алгоритм построения
геологических разрезов> [оглавление]
Итак, необходимо найти точку, в которой будут пересекаться два
отрезка с заданными координатами точек начала и конца. На рисунке 4.13
представлена суть задачи.
 |
| Рисунок 4.13. Условия задачи поиска точки пересечения двух отрезков. |
Рассмотрим ее решение.
Уравнение любой прямой имеет вид:
 ,
где a - тангенс угла между прямой и осью Х; b - значение
координаты Y точки пересечения прямой с осью Y. Следовательно, рассматриваемые
отрезки можно задать уравнениями их прямых:
Уравнение, в котором использован индекс 1, описывает прямую,
проходящую через отрезок, соединяющий на рисунке 4.13 точки 1 и 2, а индекс 2 -
для отрезка, соединяющего точки 3 и 4.
Рассмотрим теперь возможные варианты взаимного расположения двух
прямых линий. Две прямые линии на плоскости могут либо быть параллельными друг
другу и не пересекаются в этом случае, либо не быть таковыми и пересекаться в
единственной точке. Возможны также следующие частные случаи выше перечисленных
ситуаций: 1) прямые параллельны и совпадают друг с другом и 2) прямые
параллельны, но отстоят друг от друга на некотором расстоянии.
Теперь последовательно попробуем найти решение для каждой
ситуации. Начнем со случая, когда прямые не параллельны друг другу. Точка их
пересечения может быть найдена посредством решения системы уравнений следующего
вида:
Приравняем по Y:
После упрощений выразим координату X через коэффициенты a и b:
Х и Y являются координатами точки пересечения прямых.
Коэффициенты а1 и а2, как уже было отмечено, являются значениями тангенсов
углов. Имея координаты точек начал и концов отрезков, вычисляем тангенсы по
следующим формулам:
Коэффициенты b1 и b2 находим из соответствующих уравнений
прямых, используя в качестве X и Y координаты либо начала, либо конца отрезка:
Последнее, что осталось сделать для этого случая - пересекаются
ли отрезки непосредственно. Это можно сделать путем проверки попадания
найденных из решения системы уравнений координат (Xc, Yc) в диапазоны изменения
X и Y координат вершин отрезков. Отрезки будут пересекаться, если одновременно
выполняются следующие условия:
В случае, когда прямые, проходящие через отрезки, параллельны и
разнесены друг от друга на некоторое расстояние, решения не существует, то есть
отрезки не пересекаются.
И, в заключение рассмотрим тот вариант, когда прямые совпадают,
то есть, если так можно выразится, пересекаются друг с другом во всех своих
точках.
В данной работе автор оперирует ломаными линиями, являющимися
совокупностью отрезков. Длина этих отрезков достаточно мала для того, чтобы
обеспечить приемлемую гладкость ломаной. Вследствие чего, возвращаясь к случаю
совпадающих отрезков, можно принять за точку их пересечения середину любого из
них.
Таким образом, в результате работы данного алгоритма, если
отрезки пересекаются, мы получаем координаты точки их пересечения.
Теперь кратко поясним суть оставшихся функции, которые имеются
на блок-диаграмме, изображенной на рисунке 4.10. Положение стратиграфических
границ в плоскости профиля определяется с помощью нахождения точек пересечения
всех стратоизогипс с линией разреза, и дальнейшей группировки их в линии по
признаку принадлежности к той или иной поверхности (координата Т). Линия
рельефа проходит через точки пересечения линии профиля на карте и системы
горизонталей. Причем, как для рельефа, так и для границ на профиле,
вертикальная координата в плоскости разреза (Y') определяется координатами Z
системы изогипс, а горизонтальная составляющая (X') вычисляется из координат
(X,Y) точек на карте.
~ ~ ~
Вся последовательность операций в рассматриваемом блоке, таким
образом, сводится к построению трехмерной математической модели геологической
структуры из плоской проекции карты и дальнейшему рассечению этого каркаса
плоскостью разреза. Карта, выбранная для примера, несколько снимков с экрана,
сделанные на разных этапах работы программы, и листинг исходных кодов
программного модуля прилагаются к диссертации.
[назад] [оглавление] [далее]
| 
