Каминский А.
Выражения компонент электромагнитного поля для различных типов гармонических источников можно найти во многих работах.
Рассмотрим подробнее, широко используемый при геофизических изысканиях, источник электромагнитного поля - вертикальный магнитный диполь.
Роль магнитного диполя может играть замкнутый виток провода или генераторная рамка, питаемые гармонически изменяющимся током.
Для слоистого разреза метод разделения переменных приводит к следующим выражениям компонент поля магнитного диполя в виде преобразований Ханкеля:
где  , p - индекс слоя (0 - верхнее полупространство) и  - так называемая кернел - функция, зависящая от параметров геоэлектрического разреза. Из последнего выражения видно, что R рассчитывается рекуррентно, начиная с подстилающего основания к первому слою. Следует отметить некоторое отличие вида кернел - функции для других типов источников электромагнитного поля, хотя общая рекуррентная структура формулы сохраняется, что позволяет легко вычислять ее с помощью ЭВМ. Для однородного полупространства значение R равно единице.
В общем виде интегралы входящие в формулы (1,2,3) заменой переменных  и  трансформируются в интегралы типа свертки. Для вычисления таких интегралов в последние годы широко применяются цифровые линейные фильтры.
Цифровые фильтры представляют собой набор весов WJ и двух констант, задающих интервал дискретизации s и сдвиг a. Фильтр обеспечивает вычисление интегралов в соответствии со следующей формулой:
 |
(4) |
набор абсцисс задается формулой
 |
(5) |
Традиционно фильтры строятся на парах функций, во-первых, дающих аналитическую связь подынтегральной функции в (4) с результатом и, во-вторых, имеющих необходимое асимптотическое поведение. Например, для интеграла с функцией Бесселя  фильтры строятся на следующих табличных соотношениях:
При построении фильтров используется техника сингулярных разложений матриц, обеспечивающая минимизацию функции отклика в смысле метода наименьших квадратов.
Воспользовавшись несложными преобразованиями, приведем выражения для компонент поля (1,2,3) к более удобному для численного решения виду:
Подынтегральную часть выражений (6,7,8), исключая функцию Бесселя, назовем интегральным ядром и обозначим C.
В теории электромагнитных полей классическим приемом увеличения точности получаемых решений является разделение полного поля на нормальную и аномальную составляющие: 
Под нормальным полем будем понимать соответственно поле того или иного источника над однородным полупространством. Аналитические выражения для нормальных полей наиболее часто используемых при электроразведочных изысканиях источников широко известны и могут быть найдены в большинстве учебных пособий.
Расчет производится для аномальной составляющей, величина которой обычно несравнимо меньше суммарного значения.
Чтобы получить выражения для аномальных составляющих поля вычтем из ядер (9) ту часть, которая соответствует однородному полупространству (т.е. те же выражения при R=1). Новые значения подынтегральных ядер выглядят следующим образом:
Воспользовавшись (4) получим окончательные выражения, позволяющие легко вычислить компоненты электромагнитного поля гармонического магнитного диполя на поверхности слоистой среды.
Расчет компонент электромагнитного поля для других типов источников производится аналогично, по описанному выше алгоритму.
Во многих электромагнитных методах исследований используют импульсный режим возбуждения. В этом случае изучается поведение электромагнитного поля после выключения импульса тока (переходная характеристика). Аналитические выражения компонент поля на поверхности горизонтально-слоистой среды во временной области очень громоздки и их численное решение неоправданно. Обычно для решения таких задач используют Фурье-преобразование из частотной области, в которой как мы показали численное решение не вызывает затруднений.
Знание частотного спектра  позволяет посредством преобразования Фурье
 |
(14) |
получить временной отклик на ступенчатое включение тока, т.е получить решение задачи во временной области.
Аналитически преобразование (14) удается совершить лишь в случае измерений на границе однородного неполяризующегося пространства. Поэтому для численного решения выражения (14) воспользуемся тем же методом, что был использован для вычисления преобразования Ханкеля.
В общем случае, так же как это было при вычислении интегралов с функциями Бесселя, для преобразования Фурье строится фильтр вида (4) (с заменой m на  и r на t).
Данный алгоритм был использован в некоторых программах пакета Zond (ZondVMD, ZondTEM).
| 
