Теория симметрии кристаллов

Рис. 164

Проиллюстрируем принцип вывода шубниковских групп симметрии на примере групп, подчиненных точечной группе mm2 (С_2v).

1. Выпишем 10 примитивных классических (полярных) федоровских групп симметрии: Pmm2, Pnn2, Pcc2, Pba2, Pmn2₁ , Pmc2₁ , Pma2, Pnc2, Pna2₁ , Pca2₁ (табл. 7).

2. Добавив к каждой из них операцию антитождества (1' ), получим 10 нейтральных (серых) групп антисимметрии: Pmm2 ^.1', Pmn2₁ ^. 1', .... и т.д.

3. Рассмотрим группы ромбической сингонии с цветными Р-решетками: P'_s = P'_a = P'_b = P'_c , P'_A = P'_B = P'_C , P'_I . Поскольку в группах класса С_2v горизонтальные и вертикальные направления топологически различны, то цветная центрировка вертикальных ребер или граней элементарной ячейки отличается от центрировки горизонтальных: P'_a= P'_b P'_c , P'_A = P'_B P'_C . Легко выписать по 10 соответствующих шубниковских групп антисимметрии с решетками Р'_c , P'_C и P'_I , в которых цветные трансляции одинаково расположены по отношению к исходным плоскостям 1-й и 2-й позиций символа ( табл. 7).

Рис. 165

Не следует забывать, однако, что присутствие дополнительных цветных векторов (в данном случае , , ) автоматически приводит к возникновению новых цветных элементов симметрии. В группах с решеткой Р'_с возникшие цветные элементы симметрии совпадают (оказываются тождественно равными) с исходными классическими: m_x^. --> c'_x , т.е. m c', так же как n b'(a'), c m', b n', a n'. В группах с решетками P'_C и P'_I цветная трансляция , косо расположенная к исходным элементам симметрии, обусловливает их чередование с элементами антисимметрии, что видно из развернутых записей групп: P'_C nc2 = P'_C n(c')c(n')2(2') и P'_I ma2 = P'_I m(n')a(c')2(2') (см. цветную вставку, рис. 164).

При выводе Р-групп с цветной центрировкой горизонтальных ребер (a или b) или вертикальных граней (А или В) следует рассмотреть два варианта.

Рис. 166

1-й вариант. Если плоскости 1-й и 2-й позиций символа одинаковы, т.е. без скольжения или с одинаковым скольжением (P'_amm2, P'_acc2, P'_ann2, P'_aba2), то безразлично в какой из них лежит центрирующий цветной вектор , т.е. P'_a = P'_b (рис. 165, а). Однако при этом сами плоскости становятся топологически различными по отношению к вектору (вектор лежит в одной плоскости, но перпендикулярен другой). Цветная трансляция, параллельная исходным плоскостям классической симметрии, обусловливает их тождественность с возникающими плоскостями антисимметрии: m b', n c', b(a) m', c n', тогда как перпендикулярная - их чередование: m(m'), n(n'), c(c'), b(b'). В развернутом виде символы данных групп будут следующими:

P'_amm2 (= P'_bmm2) = P'_am(m') m a' 2(2'),

P'_ann2 (= P'_bnn2) = P'_an(n') n c' 2(2'),

P'_acc2 (= P'_bcc2) = P'_ac(c') c n' 2(2'),

P'_aba2 (= P'_bba2) = P'_ab(b') a m' 2(2') (см. рис. 164).

Рис. 167

2-й вариант. Если плоскости 1-й и 2-й позиций символа разные, то небезразлично, вдоль какого из ребер элементарной ячейки направлена цветная трансляция , т.е. в данном случае P'_a P'_b (см. рис. 165, б), ибо параллельна одной плоскости и перпендикулярна другой. В результате двух вариантов <зацвечивания> решеток появятся два типа групп антисимметрии. Например, P'_amc2₁ (= P'_bcm2₁) P'_bmc2₁ (= P'_acm2₁) (см. рис. 164). Всего групп антисимметрии с центрированным ребром (групп P'_s) окажется 26: 10 с цветной решеткой P_c' и 16 с решеткой P'_a (P'_b).

Аналогичные рассуждения приведут к 10 группам с цветной базоцентрированной ячейкой P'_C и к 16 (4+6 ^. 2) бокоцентрированным группам с решеткой P'_A , для которых небезразлично, какой из граней ячейки параллельна центрирующая трансляция :

4 - P'_A mm2, P'_A nn2, P'_A cc2, P'_A ba2,

12 - P'_A mn2₁ (=P'_Bnm2₁), P'_A mc2₁ (=P'_Bcm2₁), .... и т.д.,

P'_A nm2₁ (=P'_B mn2₁), P'_A cm2₁(= P'_B mc2₁) (см. табл. 7).

Не следует забывать и о результатах взаимодействий цветной трансляции с порождающими элементами симметрии, т.е. о существовании в этих группах тождественно равных исходным или чередующихся с ними элементах антисимметрии (см. цветную вставку, рис. 166).

Для того чтобы вывести группы антисимметрии ромбической гемиэдрии с классической P-решеткой, необходимо рассмотреть возможности <зацвечивания> подрешеточных элементов симметрии. При этом каждой из четырех групп с одинаковыми порождающими плоскостями симметрии (см. табл. 7) будут соответствовать 2 группы: с одной или двумя плоскостями антисимметрии, например Pb'a2'(=Pba' 2') и Pb'a' 2 (рис. 166), а каждой из оставшихся шести групп с различными порождающими элементами симметрии (см. табл. 7) - по 3 группы антисимметрии, например Pna2_{1 -->} Pn'a2₁', Pna' 2₁', Pn'a' 2₁ (см. цветную вставку, рис. 167).

В результате проведенного <зацвечивания> получили 26 групп антисимметрии с P-решеткой, изоморфных точечной группе Рmm2, т.е. всего 108 шубниковских групп: 10 классических (полярных), 10 нейтральных (серых), 62 группы с цветной решеткой, 26 с простой решеткой, но с цветными элементами симметрии.

Переходя к семейству групп с решетками C, A и B, следует иметь в виду, что если для групп классов D₂ и D_2h безразлично, какая пара граней зацентрирована, то для групп класса C_2v различают базо- (C) и бокоцентрированные (A,B) решетки, обслуживающие 7 федоровских групп: Cmm2, Cmc2₁ , Ccc2 и Amm2, Ama2, Abm2, Aba2 (табл. 8). Добавив операцию антитождества (1'), соответственно получим 7 нейтральных (серых) групп антисимметрии: Cmm2 ^. 1', Cmc2₁ ^. 1',... и т.д.(табл. 8).

Перечислив все решетки с цветной центрировкой для базоцентрированной ячейки - C'_a,b , C'_c,I , C'_A,B , следует обратить внимание на то, что цветная центрировка одного типа приводит за счет взаимодействия с классическим вектором к автоматической центрировке другого типа. Отсюда для групп класса C_2v каждая из перечисленных цветных решеток будет обслуживать лишь по 3 группы антисимметрии (табл. 8):

Рис. 168

С'_c,I mm2, C'_c,I mc2₁(= C'_c,I cm2₁), C'_c,I cc2;

C'_a,bmm2, C'_a,bmc2₁ (= C'_a,bmc2₁), C'_a,bcc2;

C'_A,B mm2, C'_A,B mc2₁ (= C'_A,B cm2₁), C'_A,B cc2.

В каждой из перечисленных групп с цветной решеткой C' в результате взаимодействия цветной трансляции с классическими элементами симметрии возникнут элементы антисимметрии. Например: C'_a,b mc2₁ = C'_a,b m b' (b m')c n'(n c' ) 2₁ (2₁' ) (см. цветную вставку, рис. 168).

Каждая из бокоцентрированных решеток - A'_b,c , A'_a,I и A'_B,C - даст по 4 группы антисимметрии (табл. 8). Например (рис. 168):

Трем федоровским группам с I-решеткой - Imm2, Ima2 и Iba2 - соответствуют 3 нейтральные группы.

Рис. 169

Поскольку цветная центрировка какого-либо ребра влечет за собой центрировку перпендикулярной этому ребру грани (вектор), то нет необходимости отдельно рассматривать центрировку граней ячейки. Три возможных варианта - I'_b,B , I'_a,A и I'_c,C - реализуются лишь в двух семействах гемиморфных групп антисимметрии, подчиненных классу C_2v:

I семейство - I'_c,C mm2, I'_c,C ma2(=I'_c,C bm2), I'_c,C ba2;

II семейство - I'_a,A mm2, I'_a,Ama2, I'_a,A bm2, I'_a,A ba2.

Разное количество групп в этих семействах связано с различным расположением порождающих разнородных плоскостей симметрии по отношению к цветным векторам: и .

Наиболее прост вывод групп антисимметрии с F-решеткой, поскольку двум федоровским группам - Fmm2 и Fdd2 - соответствуют две серые и такое же количество групп с единственной цветной решеткой - F'_smm2 и F'_sdd2. Действительно, взаимодействие чередующихся и тождественных между собой элементов симметрии (m n(c b)) с цветными трансляциями F-группы приведет на обеих позициях символа к m n c' b'(c b n' m') (см. цветную вставку, рис. 169). В результате для класса C_2v получены 12 полярных непримитивных групп, 12 нейтральных и 30 групп антисимметрии с цветными решетками. Остальные 30 групп, не содержащих антипереносов (цветных трансляций), легко вывести, <зацвечивая> порождающие элементы симметрии (см. табл. 8).