Теория симметрии кристаллов

Рис. 210

При переходе от одной координатной системы к другой, естественно, меняются отрезки, отсекаемые какой-либо системой атомных плоскостей на координатных осях, а следовательно, и символы этих плоскостей. Для выявления характера изменения индексов некоторой узловой сетки (hkl), рассчитанных в исходном координатном репере (X,Y,Z) ограничимся двухмерным случаем (рис. 210). В качестве примера возьмем систему плоских узловых сеток (hk0), разбивающих сторону а элементарного параллелограмма на 4 части и сторону b - на три части. Абсолютные величины отрезков (параметров), отсекаемых ближайшей к началу координат сеткой (hk0) на осях X и Y, будут соответственно равны p = и q =. Отсюда индексы h и k такой ближайшей к началу координат сетки будут соответственно равны 4 и 3: (430), где h = = 4 и k = = 3. Обратим внимание на то, что речь идет не о символе грани, где индексы могут быть сокращены на общий множитель, а о символе конкретной узловой сетки, где такое сокращение невозможно.

Для вычисления новых индексов (HKL) этой плоскости в новой системе координат (X' , Y' , Z' ) следует определить, на сколько частей разбивает система узловых плоскостей единичные отрезки , и вдоль новых координатных осей. Из рис. 210 видно, что единичные векторы , вдоль новых осей X' , Y' есть векторные суммы единичных векторов вдоль старых осей:

Оказывается, что число отрезков, на которые рассечен вектор рассматриваемой системой плоскостей со старым символом (430), равно сумме числа разбиений векторов и , т.е. равно 2^. 4+1^. 3 = = 11, так же как число разбиений вектора равно 2^. 4+3^. 3 = 17. Таким образом, числа 11 и 17 не что иное, как новые индексы H и K рассматриваемой системы плоскостей, соответствующие новым осям X' и Y' :

H = 2 ^. 4 + 1 ^. 3 = 11, K = 2 ^. 4 + 3 ^. 3 = 17.

Как видим, каждая из новых векторных единиц разбита на количество отрезков, равное сумме разбиений его проекций по осям X и Y исходного координатного репера.

В общем случае в новой системе координат единичный вектор , следовательно, индекс Н = u_Ah + v_Ak, а так как , то К = u_Bh + v_Bk.

Таким образом, для трехмерного случая

Отсюда преобразование индексов плоскостей запишется системой уравнений с коэффициентами, полученными для преобразования параметров решетки:

Н = u_Ah + v_Ak + w_Al,

K = u_Bh + v_Bk+ w_Bl, (6)

L = u_Ch + v_Ck + w_Cl

и соответствующей матрицей: .

Обратим внимание на то, что матрица преобразования индексов плоскости (узловой сетки, грани) совпадает с матрицей (1) преобразования координатных осей, т.е. преобразование символов граней тоже отвечает ковариантному закону:

и

Таким образом, при переходе к новому координатному реперу можно легко вычислить и новые индексы любой плоскости (hkl), придав конкретные цифровые значения коэффициентам u, v, w матрицы преобразования осей (2).

Иногда вследствие неоднозначного выбора координатной системы одним и тем же граням какого-либо кристалла разными авторами приписываются различные символы. В этом случае задачу преобразования символа любой узловой плоскости (грани) в одной координатной системе к символу этой же плоскости (грани) в другой системе легко решить, найдя матрицу преобразования (М) от одной координатной системы к другой. Для этого следует подставить частные значения индексов (H,K,L в одной координатной системе и h,k,l - в другой) ограниченного числа плоскостей в систему уравнений (6) и решить их относительно коэффициентов u,v,w.

Например, пусть символы (hkl) трех плоскостей (граней I, II и III) в старом координатном репере: (110), (210) и (001) приобрели в новой системе координат значения (HKL) соответственно (230), (340) и (001) [22]. Значения коэффициентов u, v, w легко вычислить, решив систему уравнений (6). Подставив значения индексов (h,k,l) в уравнение               H = u_A ^. h + v_A ^. k + w_A ^. l для всех трех исходных граней (I, II, III), получим:

для плоскости I H_I = u_A ^. 1 + v_A ^. 1 + w_A ^. 0 = 2 ; u_A + v_A = 2,

для плоскости II H_II = u_A ^. 2 + v_A ^. 1 + w_A ^. 0 = 3 ; 2u_A + v_A = 3,

для плоскости III H_III = u_A ^. 0 + v_A ^. 0 + w_A ^. 1 = 0 ; w_A = 0.

Откуда найдем значения u_A = 1, v_A = 1, w_A = 0.

Для того чтобы найти коэффициенты u_B ,v_B ,w_B, подставим зна-чения индексов (h,k,l) во второе уравнение (6): K = u_B ^. h + v_B ^. k + w_B ^. l:

для плоскости I K_I = u_B ^. 1 + v_B ^. 1 + w_B ^. 0 = 3 ; u_B + v_B = 3,

для плоскости II K_II = u_B ^. 2 + v_B ^. 1 + w_B ^. 0 = 4 ; 2u_B + v_B = 4,

для плоскости III K_III = u_B ^. 0 + v_B ^. 0 + w_B ^. 1 = 0 ; w_B = 0,

откуда u_B = 1, v_B = 2, w_B = 0.

Решение 3-й системы уравнений (6): L = u_C ^. h + v_C ^. k + w_C ^. l:

для плоскости I L_I = u_C ^. 1 + v_C ^. 1 + w_C ^. 0 = 0 ; u_C + v_C = 0,

для плоскости II L_II = u_C ^. 2 + v_C ^. 1 + w_C ^. 0 = 0 ; 2u_C + v_C = 0,

для плоскости III L_III = u_C ^. 0 + v_C ^. 0 + w_C ^. 1 = 1 ; w_C = 1,

даст значения u_C = 0, v_C = 0, w_C = 1.

Записав найденные значения u, v, w в виде таблицы, получим искомую матрицу преобразования символов граней:

Элементы такой матрицы, будучи подставлены в качестве коэффициентов в уравнения (6), дадут общий закон, определяющий преобразование индексов любых плоскостей, атомных сеток или граней какого-либо кристалла при заданном преобразовании координатных осей: