Теория симметрии кристаллов

Международный символ групп симметрии - символ Германа- Могена - состоит как минимум из трех позиций, на которых фиксированы обозначения неэквивалентных особых направлений: осей симметрии (поворотных и инверсионных) и нормалей к плоскостям симметрии.

Поворотные оси симметрии регистирируют соответствующи-ми их порядку арабскими цифрами (L₄ = 4, L₁ = 1). При обозначении инверсионной оси над цифрой ставится черточка ( ₃ = читается "три с чертой", ₄= ); в случае зеркальной оси - кружок ( ₃ = - читается "три зеркальная", ₂ = ). Однако в стандартных символах используются только инверсионные оси. Вместо инверсионной оси в символе записывается совпадающая с ней нормаль к плоскости симметрии - m (англ. mirror - зеркало).

Если ось симметрии (n) совпадает с нормалью к плоскости (m), то они фиксируются на одной позиции символа в виде дроби , где в числителе - обозначение оси симметрии, а в знаменателе - нормали к плоскости (например, L₃P^ =, L₂PC = ). Однако, если ось является порожденной другими элементами симметрии, записанными в символе, ее, как правило, опускают, оставляя лишь букву m. Нельзя опустить лишь обозначение главной оси в группах средней категории, указывающей на принадлежность группы к той или иной сингонии

(3L₂3PC = = mmm, L₄4L₂5PC =, L₂PC = ).

Символы групп низшей категории

Поскольку в группах ромбической системы все три особые направления неэквивалентны и служат координатными осями X, Y и Z, каждое из них регистрируется на определенной позиции символа:

на 1-й позиции - особое направление вдоль оси Х,

на 2-й позиции - особое направление вдоль оси У,

на 3-й позиции - особое направление вдоль оси Z. Например, символ mm2 (= L₂2P) указывает на то, что вертикальная ось Z выбрана вдоль поворотной оси 2-го порядка. Очевидно, что символы m2m и 2mm указывают на нестандартную установку ромбической группы симметрии: в первом случае поворотная ось направлена вдоль оси Y, во втором - вдоль оси Х.

Группы моноклинной системы характеризуются единственным особым направлением, которое и фиксируется на одной из позиций символа. Чтобы показать, с какой из координатных осей связано единственное особое направление, можно на не занятые особыми направлениями позиции символа поставить единицы - оси 1-го порядка (L₂ = 2 = 211 = 112 = 121).

В группах триклинной системы особые направления отсутствуют. Поэтому в символе записывают лишь ось 1-го порядка - поворотную или инверсионную ( L₁= 1, ₁ = С = ).

Символы групп симметрии средней категории

Обязательной принадлежностью групп симметрии средней категории тетрагональной и гексагональной сингоний является единственная ось высшего порядка, вдоль которой обычно выбирают координатную ось Z. Именно это главное особое направление и записывается на 1-й позиции международного символа. На 2-й позиции фиксируются эквивалентные особые направления вдоль горизонтальных координатных осей X = Y (= U); на 3-й позиции - особое направление, расположенное под углом /2 к побочным координатным особым направлениям (где - элементарный угол поворота, заданный главной осью, фиксированной на 1-й позиции символа). Элементы симметрии, представленные этим особым направлением, - результат взаимодействия элементов симметрии 1-й и 2-й позиций символа. Если a /2 = 45^o (главная ось 4 или ), то направление 3-й позиции называют диагональным, при /2 = 30^o (ось 6 или ) - апофемальным.

Для осей 3 и апофемальное направление ( /2 = 60^o ) совпадает с координатным U. Таким образом, охарактеризовав в символе одно из координатных (X, Y или U), автоматически характеризуем и апофемальное направление. В этом случае 3-я позиция символа не заполняется (например, L₃3P = 3m, но L₄4L₂ = 422, в последней группе координатные и диагональные особые направления - оси 2-го порядка - неэквивалентны, поэтому каждая из них регистрируется на соответствующей позиции символа).

Напомним, что, поскольку координатные оси X и Y в точечных группах средней категории предпочитают выбирать вдоль поворотных осей 2-го порядка, стандартным символом класса ₄2L₂2P будет , при этом нормали к плоскостям симметрии окажутся на 3-й, диагональной позиции символа. Однако в группах гексагональной сингонии при выборе координатных направлений предпочтение оказывают нормалям к плоскостям симметрии (m). Поэтому "официальным" символом точечной группы L₃3L₂3P_vP_h = = ₆ 3L₂3P будет , а не .

Символы групп симметрии высшей категории

В группах кубической сингонии все три координатные особые направления эквивалентны (Х = Y = Z). Поэтому они в международном символе фиксируются на одной - первой - позиции. Диагональные особые направления, проходящие по биссектрисам углов между координатными осями, регистрируют на 3-й позиции. На 2-й позиции символа записывают цифру "3", символизирующую обязательную для всех групп кубической сингонии четверку осей 3-го порядка (3L₄4L₃6L₂ = 432, 3L₄4L₃6L₂3P_к6P_dC = ).

Итак, в международных символах фиксируют в основном порождающие элементы симметрии, предпочитая в качестве таковых плоскости симметрии. Если инверсионная ось имеет бо? льшую величину симметрии (т.е. обладает большей размножающей способностью), чем совпадающая с ней ее поворотная составляющая, то в символе регистрируется именно инверсионная ось (например, вместо записывают , вместо - и вместо m3m - ). При одинаковой размножающей способности совпадающих поворотной и инверсионной осей в символе фиксируется поворотная ось (, а не ).

Международные символы пространственных групп симметрии в отличие от символов точечных групп сопровождаются буквой, указывающей на тип решетки Браве (Р - примитивный, С(А,В) - базо - или бокоцентрированный, I - объемноцентрированный, F - гранецентрированный). Кроме того, в качестве подрешеточных элементов симметрии на позициях символа могут появиться кроме макроэлементов симметрии - зеркальных плоскостей, поворотных осей и центра инверсии - и трансляционные элементы симметрии: плоскости скользящего отражения и винтовые оси - элементы микросимметрии.

Обозначения групп симметрии Шенфлиса

Символика точечных групп симметрии, предложенная немецким математиком А. Шенфлисом, позволяет одной буквой с соответствующим нижним индексом не только охарактеризовать весь набор элементов симметрии конкретной точечной группы, но и объединить родственные группы в отдельные семейства.

Циклические группы - группы с единственным особым направлением, представленным поворотной осью симметрии, - обозначаются буквой С, с нижним цифровым индексом n, соответствующим порядку этой оси (например, С₄ = L₄ , C₁ = L₁)⁾.

Группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i, например С_3i = ₃, C_i = ₁. Если же инверсионной оси предпочитают ее зеркальный эквивалент, то группа с такими осями обозначается S_n (от нем. spiegelaxe - зеркальная ось), например S₆ = C_3i , S₄ = C_4i; при этом цифровой индекс n всегда отвечает порядку сложной оси.

Группы симметрии с побочными - перпендикулярными главному направлению - осями 2-го порядка обозначаются D_n, где нижний индекс n соответствует не только порядку главной поворотной оси, но и количеству побочных осей 2-го порядка (например, D₃ = L₃3L₂ , D₂ = 3L₂ , в последней группе любая из осей L₂ может играть роль главной, две другие, перпендикулярные ей, при этом окажутся побочными).

Для обозначения зеркальных плоскостей симметрии Шенфлис ввел дополнительные подстрочные буквенные индексы:

v (от нем. vertical - вертикальный) - для плоскостей, расположенных вдоль единственной или главной оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной ¹ (L₃3P = C_3v);

h (от нем. horisontal - горизонтальный) - для плоскости, перпендикулярной к главной оси симметрии (L₂PC = C_2h);

s (от нем. spiegel - зеркало) - для плоскости неопределенной ориентации, т.е. не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии (Р = C_s (= P_v = P_h));

d - для вертикальных плоскостей симметрии, делящих пополам угол между побочными осями 2-го порядка (D_3d = L₃3L₂3PC, D_2d = = ₄(₄)2L₂2P_d; в последней группе нижний цифровой индекс n = 2 соответствует поворотной составляющей сложных осей ₄ = ₄).

Если же вертикальные плоскости симметрии проходят через побочные (горизонтальные) оси 2-го порядка, неизбежно возникает четко фиксированная по отношению к главной оси горизонтальная плоскость h, которой и отдается предпочтение в символе Шенфлиса (D_3h = L₃3L₂3P_vP_h). Индекс v в группах D_n оказывается неоднозначным.

Группы симметрии с несколькими осями высшего порядка - группы кубической сингонии - обозначаются буквой О в случае, если они содержат полный набор осей симметрии (3L₄4L₃6L₂ - осевой комплекс октаэдра или куба), или буквой Т - если в группе отсутствуют диагональные оси симметрии (3L₂4L₃ - поворотные составляющие осевого комплекса тетраэдра).

Наличие в группе координатных или диагональных плоскостей симметрии фиксируется в символе Шенфлиса соответственно буквами h (среди координатных плоскостей всегда присутствует горизонтальная h) или d. Если в группе имеются оба типа плоскостей, то в символе фиксируются лишь координатные h (3L₂4L₃3P_кC = T_h , 3 ₄ 4L₃6P_d = T_d , 3L₄4L₃6L₂3P_к6P_dC = O_h).

В обозначениях пространственных групп симметрии появляются вверхние цифровые индексы, отражающие ту последовательность, в которой А.Шенфлис выводил пространственные группы. И поскольку иной смысловой нагрузки эти индексы не несут, в этом качестве они оказываются недостаточно информа-тивны (например, = Pbam, = Pccn, = Pbcm). Однако, поскольку международные символы пространственных групп могут видоизменяться с преобразованием координатной системы (например, Сmc2₁ = A2₁ma), необходимо их сопровождать символом Шенфлиса, не учитывающим ориентацию пространственной группы относительно выбранной координатной системы (A2₁ma = ) и однозначно указывающим на определенную пространственную группу.

Cписок 230 пространственных (федоровских) групп симметрии