Задачи третьей олимпиады

3.1. Установите, можно ли создать проводную телефонную сеть связи, состоящую из 993 абонентов, каждый из которых был бы связан ровно с 99 другими.

3.2. Шифрпреобразование простой замены в алфавите , состоящем из различных букв, заключается в замене каждой буквы шифруемого текста буквой того же алфавита, причем разные буквы заменяются разными. Ключом шифра простой замены называется таблица, в которой указано, какой буквой надо заменить каждую букву алфавита . Если слово СРОЧНО зашифровать простой заменой с помощью ключа:

А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ь Ы Э Ю Я Ч Я Ю Э Ы Ь Щ Ш Ц Х Ф У Б Д Т З В Р П М Л К А И О Ж Е С Г Н

то получится слово ВЗДАБД. Зашифровав полученное слово с помощью того же ключа еще раз, получим слово ЮШЫЧЯЫ. Сколько всего различных слов можно получить, если указанный процесс шифрования продолжать неограниченно?

3.3. Сообщение, зашифрованное в пункте А шифром простой замены в алфавите из букв русского языка и знака пробела (-) между словами, передается в пункт Б отрезками по 12 символов. При передаче очередного отрезка сначала передаются символы, стоящие на четных местах в порядке возрастания их номеров, начиная со второго, а затем - символы, стоящие на нечетных местах (также в порядке возрастания их номеров), начиная с первого. В пункте B полученное шифрованное сообщение дополнительно шифруется с помощью некоторого другого шифра простой замены в том же алфавите, а затем таким же образом, как и из пункта А, передается в пункт В. По перехваченным в пункте В отрезкам:

С О - Г Ж Т П Н Б Л Ж О Р С Т К Д К С П Х Е У Б - Е - П Ф П У Б - Ю О Б С П - Е О К Ж У У Л Ж Л С М Ц Х Б Э К Г О Щ П Ы У Л К Л - И К Н Т Л Ж Г

восстановите исходное сообщение, зная, что в одном из переданных отрезков зашифровано слово КРИПТОГРАФИЯ.

3.4. Дана последовательность чисел в которой есть последняя цифра числа . Докажите, что эта последовательность периодическая и ее наименьший период равен 20.

3.5. Исходное сообщение, состоящее из букв русского алфавита и знака пробела (-) между словами, преобразуется в цифровое сообщение заменой каждого его символа парой цифр согласно следующей таблице:

А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ь Ы Э Ю Я - 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Для зашифрования полученного цифрового сообщения используется отрезок последовательности из задачи 3.4, начинающийся с некоторого члена . При зашифровании каждая цифра сообщения складывается с соответствующей цифрой отрезка и заменяется последней цифрой полученной суммы. Восстановите сообщение:

2339867216458160670617315588

3.6. Равносторонний треугольник разбит на четыре части так, как показано на рисунке, где и  - середины сторон и соответственно. Известно, что и . В каком отношении точки и делят сторону , если известно, что из этих частей можно составить квадрат?