Задачи второй олимпиады

2.1. В древнем шифре, известном под названием ``Сцитала'', использовалась полоска папируса, которая наматывалась на круглый стержень виток к витку без просветов и нахлестов. Далее, при горизонтальном положении стержня, на папирус построчно записывался текст сообщения. После этого полоска папируса с записанным на ней текстом посылалась адресату, имеющему точно такой же стержень, что позволяло ему прочитать сообщение.

В наш адрес поступило сообщение, зашифрованное с помощью шифра ``Сцитала''. Однако ее автор, заботясь о том, чтобы строчки были ровные, во время письма проводил горизонтальные линии, которые остались на полоске в виде черточек между буквами. Угол наклона этих черточек к краю ленты равен , ширина полоски равна , а ширина каждой строки равна . Укажите, как, пользуясь имеющимися данными, прочитать текст.

2.2. Исходное цифровое сообщение коммерсант шифрует и передает. Для этого он делит последовательность цифр исходного сообщения на группы по пять цифр в каждой и после двух последовательных групп приписывает еще две последние цифры суммы чисел, изображенных этими двумя группами. Затем к каждой цифре полученной последовательности он прибавляет соответствующий по номеру член некоторой целочисленной арифметической прогрессии, заменяя результат сложения остатком от деления его на 10.

Найдите исходное цифровое сообщение по шифрованному сообщению:

4 2 3 4 6 1 4 0 5 3 1 3

2.3. Рассмотрим преобразование цифрового текста, в котором каждая цифра заменяется остатком от деления значения многочлена на число 10, где ,  - фиксированные натуральные числа.

Выясните, при каких значениях , указанное преобразованиеможет быть шифрпреобразованием (т.е. допускает однозначное расшифрование).

2.4. При установке кодового замка каждой из 26 латинских букв, расположенных на его клавиатуре, сопоставляется произвольное натуральное число, известное лишь обладателю замка. Разным буквам сопоставляются не обязательно разные числа. После набора произвольной комбинации попарно различных букв происходит суммирование числовых значений, соответствующих набранным буквам. Замок открывается, если сумма делится на 26.

Докажите, что для любых числовых значений букв существует комбинация, открывающая замок.

2.5. Сообщение, записанное в алфавите

АБВГДЕЖЗИКЛМНОПРСТУФХЦЧШЩЬЫЭЮЯ

зашифровывается при помощи последовательности букв этого же алфавита. Длина последовательности равна длине сообщения. Шифрование каждой буквы исходного сообщения состоит в сложении ее порядкового номера в алфавите с порядковым номером соответствующей буквы шифрующей последовательности и замене такой суммы на букву алфавита, порядковый номер которой имеет тот же остаток от деления на 30, что и эта сумма.

Восстановите два исходных сообщения, каждое из которых содержит слово КОРАБЛИ, если результат их зашифрования при помощи одной и той же шифрующей последовательности известен:

ЮПТЦАРГШАЛЖЖЕВЦЩЫРВУУ и ЮПЯТБНЩМСДТЛЖГПСГХСЦЦ

2.6. Буквы русского алфавита занумерованы в соответствии с таблицей:

А Б В Г Д Е Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ь Ы Э Ю Я 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Для зашифрования сообщения, состоящего из букв, выбирается ключ  - некоторая последовательность из букв приведенного выше алфавита. Зашифрование каждой буквы сообщения состоит в сложении ее номера в таблице с номером соответствующей буквы ключевой последовательности и замене полученной суммы на букву алфавита, номер которой имеет тот же остаток от деления на 30, что и эта сумма.

Прочтите шифрованное сообщение: РБЬНТСИТСРРЕЗОХ, если известно, что шифрующая последовательность не содержала никаких букв, кроме А, Б и В.