3. Гравитационное поле планеты

• 3.1 Гравитационный потенциал
• 3.2 Свойства гравитационного потенциала
• 3.3 Гравитационный потенциал шара
• 3.4 Гравитационное поле планеты

3.1 Гравитационный потенциал

• 3.1.1 Гравитационный потенциал материальной точки
• 3.1.2 Гравитационный потенциал тела

Потенциалом называется работа, которую нужно совершить, которую нужно совершить, чтобы переместить данную материальную точку с массой, равной единице, из заданной точки в бесконечность. Пусть есть вектор-сила, приложенная к материальной точке, -- радиус-вектор этой точки. Тогда потенциалом будет величина

(3.1)

Введем понятие силовой функции . По определению частная производная силовой функции вдоль любого направления равна компоненте силы вдоль этого направления. Отсюда следует, что .

Таким образом, подынтегральное выражение в формуле (3.1) есть не что иное, как полный дифференциал силовой функции, поэтому

Силовую функцию на бесконечности можно приравнять нулю, поэтому будем считать, что потенциал и силовая функция отличаются лишь знаком.

В гравиметрии, как разделе геофизики, традиционно не разделяют эти два понятия, и под термином гравитационный потенциал обычно понимают силовую функцию. В нашем курсе мы также будем придерживаться этих традиций.

3.1.1 Гравитационный потенциал материальной точки

Согласно закону Ньютона, две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорционально квадрату расстояния между ними. Выберем систему координат так, чтобы одна из материальных точек оказалась в начале этой системы. Тогда другая материальная точка будет иметь радиус-вектор . Вектор напряженности гравитационного поля в точке с радиус-вектором равен силе, которая действует на материальную точку с массой, равной единице. Вектор этой силы можно изобразить следующим образом , где -- гравитационная постоянная. Проекции этой силы на оси декартовой системы координат будут равны , , . Абсолютная величина этого вектора, равна

(3.2)

Заметим, что размерность напряженности поля тяготения совпадает с размерностью ускорения, поэтому часто вместо силы притяжения единицы массы, или удельной силы притяжения говорят об ускорении силы притяжения, хотя, может быть, в этом словосочетании можно усмотреть и смысловую нелепицу.

Формулу (3.2) еще называют как закон обратных квадратов. Весь опыт небесной механики говорит о том, что в масштабах Солнечной системы он работает очень хорошо: не найдено каких либо подозрений, что его нужно подправлять. Лабораторные эксперименты по определению гравитационной постоянной G дали повод подозревать, что этот закон не абсолютно строг. Хотя причиной несоответствия теории и практики вполне могли быть и неизвестные систематические погрешности. В конце минувшего века наблюдался повышенный интерес к закону обратных квадратов. В разных странах проводились эксперименты и применялись современные самые высокоточные инструменты для обнаружения каких-либо невязок между теорией и практикой. Однако, никаких значимых расхождений не обнаружено.

Нетрудно убедиться, что гравитационный потенциал точки (силовая функция) равен, , где -- расстояние между притягивающимися точками (скалярная величина).

3.1.2 Гравитационный потенциал тела

Строго говоря, закон обратных квадратов работает только для материальных точек. Однако, физики-теоретики и экспериментаторы доказывают, что для гравитационного поля выполняется принцип суперпозиции: гравитационное поле двух материальных точек (или тел) равно сумме гравитационных полей каждой из этих точек (или тел) по отдельности. Иначе говоря, силы тяготения не экранируются.

Согласно принципа суперпозиции, гравитационный потенциал точек равен сумме гравитационных потенциалов всех точек

Если точек бесконечное число, а массы их бесконечно малы, то имеем дело с интегральной суммой, и нашу формулу следует записать так

(3.3)

где -- расстояние между фиксированной точкой и элементом притягивающей массы .

Пусть , , -- координаты точки , а , , -- координаты текущей точки с массой dm тогда формулу (3.3) можно переписать следующим образом м

(3.4)

Приведенный интеграл берется по всему объему тела, это трехкратный интеграл. Его величина зависит от распределения плотностей внутри тела.