Теория симметрии кристаллов

I.3. Взаимодействия элементов симметрии

I.3.1. Теорема Эйлера

Рис. 5

Результат сочетания двух вращений вокруг пересекающихся поворотных осей легко увидеть, рассмотрев движение точки на поверхности сферы (рис. 5). Пусть А и В - точки выхода двух пересекающихся в центре О сферы поворотных осей с элементарными углами поворота и соответственно. Направления вращений указаны стрелками. Для доказательства на поверхности сферы проведем дуги больших кругов (экваторы) а - а и в - в, полюсами которых служат выходы исходных осей А и В соответственно. Рассмотрим последовательные вращения вокруг указанных осей некоторой точки 1, выбрав ее на поверхности сферы так, чтобы после поворота вокруг оси А на угол a (движение по экватору а - а) она оказалась на экваторе в - в в положении 2. После поворота точки 2 на угол b вокруг оси В (движение по экватору в - в) она попадет в положение 3. Дуга большого круга, проведенная через точки 1 и 3, является экватором с - с по отношению к полюсу в точке С. При этом движение точки 1 по экватору с - с в точку 3 можно считать поворотом на угол g вокруг оси, выходящей в полюсе С. Таким образом, два поворота против часовой стрелки вокруг пересекающихся осей А и В можно заменить поворотом в том же направлении вокруг третьей оси С: А ^. В = С. В этом суть известной "осевой" теоремы Эйлера, лежащей в основе теории симметрии кристаллов. Нетрудно понять, что комбинация вращений вокруг трех пересекающихся осей соответствует операции идентичности, оставляющей точку на месте: А ^. В ^. С_-= 1.

Рис. 6

Для получения конкретных значений угловых величин следует прибегнуть к построению Эйлера (см. [58]), использующему половинные элементарные углы поворотов осей, что особенно удобно при рассмотрении взаимодействия осей 2-го порядка (= 180^o).

При доказательстве теоремы все построения, как и в рассмотренном выше случае, проводятся на поверхности сферы (рис.6). Точки А и В - выходы пересекающихся в центре сферы О двух поворотных осей: ОА (с элементарным углом поворота ) и ОВ (с углом ). Угол между этими осями соответствует отрезку АВ дуги большого круга, проходящей через их выходы.

Проведем на сфере дуги АМ и АМ', BN и BN', образующие с дугой АВ углы /2 и /2 соответственно: МАВ = М'АВ =/2, NBA = N'BA = /2.

Рис. 7

Обозначим точки пересечения дуг АМ с ВN и АМ' с ВN' буквами С и С' соответственно. Рассмотрим движение точки С на сфере. В результате поворота вокруг оси А на угол a против часовой стрелки точка С перейдет в положение С'. Последующий поворот точки С' вокруг оси В на угол в том же направлении вернет ее в исходное положение С. Таким образом, комбинация вращений вокруг осей А и В оставит точку С на месте. Это значит, что третье - результирующее - вращение может происходить исключительно вокруг оси, выход которой совпадает с точкой С, ибо только в этом случае будет выполняться условие А ^. В ^. С_-= 1, и точка С при повороте вокруг третьей оси останется на месте. Величину угла легко измерить, рассмотрев полное перемещение точки А: поворот вокруг оси А оставит точку на месте, поворот вокруг оси В переведет точку А в положение А'. В результате образуются два равных треугольника: АВС = А'ВС, ибо АВС = А'ВС = /2 и АВ = А'В по построению. Следовательно, АСВ = А'СВ. Обозначив каждый из них /2, получим элементарный угол поворота для оси С, выходящей в точке С.

В результате проведенных построений получен сферический треугольник АВС, углы А, В и С при вершинах которого равны половинам элементарных углов поворота осей, выходящих в его вершинах, т.е. А = = /2, В = /2 и С = /2. Стороны такого сферического треугольника а = = ВС, в = АС, с = АВ соответствуют углам между этими осями.

Расчеты порядков осей и углов между ними можно производить по формулам сферической тригонометрии [24] - раздела математики, рассматривающего только фигуры, образованные дугами больших кругов, - сферические треугольники, каждый из которых может быть охарактеризован шестью элементами: тремя сторонами - дугами (а, в, с) - и углами между ними (А, В, С). Основные формулы сферической тригонометрии связывают четыре или пять элементов сферического треугольника, т.е. дают возможность по трем или четырем данным его элементам определить остальные.