Теория симметрии кристаллов

IV.8. Взаимодействие двух взаимно перпендикулярных пересекающихся плоскостей симметрии

Рис. 36

В качестве примера рассмотрим результат взаимодействия двух перпендикулярных друг другу зеркальных плоскостей симметрии, уже доказанный ранее для точечных групп симметрии (см. с. 18), не вызывающий сомнений и наглядно иллюстрируемый модельным спосо-бом (рис. 36, а). Действительно, фигура 1, отраженная в плоскости m_x, перейдет в положение 2, а затем плоскостью m_y будет переведена в положение 3. Смена последователь-ности симметрических операций - сначала отражение в m_y, а затем в m_x (фигура 1 перейдет в положение 4, а далее в 3) - приведет к одному и тому же результату: появлению поворотной оси 2-го порядка, расположенной по линии пересечения рассматриваемых плоскостей симметрии, т.е. операции в этом случае коммутируют. Положение результирующей оси 2_z четко фиксировано, так как ни одна из заданных зеркальных плоскостей не содержит трансляционной компоненты, уводящей ось 2 с линии пересечения плоскостей.

Определенные трудности локализации результирующих осей 2-го порядка возникают при взаимодействии плоскостей скользящего отражения [27]. Так, в качестве примера рассмотрим результат взаимодействия взаимно перпендикулярных плоскостей скользящего отражения b_x и a_y. Каждая из них может быть представлена двумя "мнимыми" операциями: отражением в зеркальной плоскости (которая в данном случае не является самостоятельным элементом симметрии) с одновременным скольжением вдоль соответствующей символу плоскости координатной оси на вектор, также не являющийся истинной трансляцией в этом направлении:

(где ),

(где ).

Обратившись к традиционному способу выявления положения результирующей оси 2-го порядка путем группировки мнимых операций симметрии заданных элементов симметрии - плоскостей b_x и a_y, получим .Взаимодействие двух операций отражения в плоскостях m_x и   m_y приведет к появлению поворотной оси 2-го порядка, положение которой определит ее взаимодействие с суммарным вектором . Таким образом, ось 2-го порядка, казалось бы, возникшая на первом этапе на пересечении исходных плоскостей в позиции (рис, 36,б), взаимодействуя с перпендикулярным к ней вектором , окажется на его середине и займет положение . Но это противоречит результату, полученному модельным способом (рис. 36, в). Действительно, фигура 1, будучи размноженной сначала плоскостью b_x, перейдет в положение 2, а затем будет переведена в положение 3 отражением в плоскости a_y. В результате ось 2-го порядка, связывающая 1-ю и 3-ю фигуры, окажется в позиции , а не , как было выявлено на основе традиционных рассуждений. Если же вначале на фигуру 1 (рис. 36, г) подействовать операциями плоскости a_y (фигура окажется в положении 2), а затем b_x (положение 3), то 1-я и 3-я фигуры будут связаны поворотной осью 2 в позиции , что тоже противоречит традиционным рассуждениям. Поменяв направления скольжения плоскостей на противоположные, получим оси в позициях и . Таким образом, из модельного доказательства убеждаемся, что при рассмотрении взаимодействия симметрических операций порядок их проведения не безразличен, т.е. операции не коммутируют. Следовательно, традиционный формальный метод приводит к ошибочному результату, если не учитывается последовательность проводимых симметрических операций.

Рис. 37

Особенностью плоскостей скользящего отражения является наличие в них в качестве одной из мнимых операций трансляцион-ного векто-ра, который может быть направлен как в одну сторону (положитель-ную), так и в другую - противопо-ложную ей (отрицатель-ную).

В нашем случае скольжение у плоскос-тей симметрии b_x и  a_y возможно как в поло-жительном (рис. 37), так и в отрицательном направлении:

+ , + , - , -.

Поэтому, рассматривая взаимодействие указанных плоскостей скользящего отражения, следует учитывать направление перечисленных трансляционных векторов, а также последовательность операций симметрии, заданных этими плоскостями. Обозначив через +a_y и +b_x плоскости скользящего отражения с положительными трансляционными векторами + и + соответственно и через - a_y и - b - плоскости с отрицательными компонентами - и - , придем к восьми возможным комбинациям порождающих плоскостей скользящего отражения, а точнее, их трансляционных компонент: +b_x ^.+a_y(1), +a_y ^. +b_x(2), -b_x ^. +a_y(3), +a_y ^. - b_x(4), +b_x ^.- a_y(5), - a_y ^. +b_x(6), - b_x ^.- a_y(7), - a_y ^. - b_x(8).

Исследуем 1-й вариант взаимодействий: +b_x ^. +a_y = m_x(+) ^. m_y(+). Получив на первой, промежуточной стадии ось 2-го порядка как результат взаимодействия симметрических операций отражения в плоскостях m_x и m_y, рассмотрим в указанной последовательности действие элементов симметрии друг на друга. Вектор +, отраженный в плоскости m_y, займет энантиоморфное положение (- ), а вектор + передвинет плоскость b_x(= m_x ^. - ) на свою величину. Суммарный вектор = _- , не имеющий вертикальной составляющей, будет взаимодействовать с полученной ранее осью 2-го порядка 2, в результате чего реальная ось окажется в позиции (см. рис. 37), что подтверждается и модельным способом.

Изменение последовательности проведения симметрических операций на обратную (+a_y ^. +b_x) (2) обусловит возникновение также поворотной оси 2_z, но уже в положении . Дальнейшее рассмотрение остальных шести комбинаций симметрических операций (3 - 8) покажет еще два возможных положения осей 2 в позициях и .

Рис.38

В  итоге на графике пространственной группы (рис. 38, а) окажутся лишь поворотные оси, повторяющиеся вдоль координатных направлений через полтрансляции, что укажет на примитивность пространственной решетки, т.е. на пространственную группу Рba2. В конечном счете в данном случае будет безразлично, в каком порядке и за счет каких взаимодей-ствий или действий исходных операций получены оси 2. Таким образом, рассмотрение взаимодействия друг с другом любых взаимно перпендикулярных плоскостей скользящего отражения, содержащих трансляционные компоненты, равные половинам координатных трансляций ячейки (), не вызовет затруднений, хотя бы потому, что при этом в примитивной решетке (см. с. 88) возникают оси одного наименования, повторяющиеся вдоль координатных направлений через половины координатных трансляций (рис. 38, а, б). И так как в этих случаях все четыре возможные позиции заняты одинаковыми по характеру осями - 2 или 2₁, последовательность проводимых симметрических операций не сказывается на конечном результате, т.е. некоммутативность операций симметрии при вычерчивании графика соответствующей пространственной группы фактически не играет существенной роли.

Рис. 39

Следует отметить, однако, что трансляционная компонента клиноплоскости n (см. с. 49), определяемая половинами координатных трансляций (, где ) (рис. 39, а), делает безразличным, вдоль какой из диагоналей граней (узловых сеток) элементарной ячейки направлен вектор , так как скольжение вдоль одной диагонали грани автоматически сопровождается скольжением и вдоль другой ее диагонали: ; поэтому трансляционная компонента плоскости n имеет не два, а четыре значения: +, - , + , - .

"Алмазные" клиноплоскости d (см. с. 49)в отличие от клиноплоскостей n характеризуются некоторыми лишь им присущими особенностями. В частности, их трансляционная компонента - вектор - не допускает одновременного скольжения по обеим диагоналям (D) грани (сетки) элементарной ячейки, т.е. (рис. 39, б), а следовательно, трансляционная компонента такой клиноплоскости имеет лишь два противоположных значения: + и - .

Рис. 40

Наличие нескольких вариантов расположения трансляционных векторов указанных клиноплоскостей (d и n) следует учитывать при выводе соответствующих пространственных групп и построении их графиков, ибо игнорирование возможной некоммутативности действий элементов симметрии с входящими в них мнимыми операциями часто приводит к неверному результату. Особенно это касается тех случаев, когда трансляционные компоненты взаимодействующих плоскостей равны 1/4 координатных трансляций решетки (). Например, при взаимодействии двух взаимно перпендикулярных плоскостей d, каждая из которых может быть представлена совокупностью "мнимых" операций: и , в одной и той же пространственной группе в зависимости от последовательности выполнения операций возникают как поворотные, так и винтовые оси 2-го порядка (рис. 40), позиции которых, не прибегая к модельному способу, определить непросто.

Продемонстрируем сказанное на примере построения графика пространственной группы Fdd2, получающейся в результате взаимодействия взятых в качестве порождающих двух взаимно перпендикулярных клиноплоскостей:

и ,

где .

Рис. 41

Учет направлений трансляционных векторов + и + (рис. 41) и последовательности операций симметрии приведет к восьми вариантам взаимодействия компонент исходных плоскостей:

1) [m_x ^. ] * [m_y ^. ] ,

2) [m_y ^. ] * [m_x ^.] ,

3) [m_x ^.- ] * [m_y ^. ] ,

4) [m_y ^. ] * [m_x ^. - ] ,

5) [m_x ^. ] * [m_y ^. - ] ,

6) [m_y ^. - ] * [m_x ^. ] ,

7) [m_x ^. - ] * [m_y ^. - ] ,

8) [m_y ^. - ] * [m_x ^. - ] .

Рис. 42

При всех дальнейших рассуждениях важно помнить, что элементы симметрии не только взаимодействуют один с другим, порождая новые элементы симметрии (как было показано выше), но и действуют друг на друга, как на некоторые материализованные объекты, что обычно не учитывается в традиционных рассуждениях, но, как будет показано ниже, для плоскостей d имеет решающее значение.

Рассмотрим результаты перечисленных вариантов.

1. d_x ^. d_y = [m_x ^.] * [m_y ^. ] (рис. 42, а).

Обращение к формальному традиционному методу вновь приведет к ошибочному результату ¹ - к оси 2₁ в позиции . Предложенный выше прием получения результата взаимодействия клиноплос-костей d лишен этих недостатков.

В данном случае, не изменяя последовательности операций, записанных в ряду 1, рассмотрим, как будут действовать на исходную мнимую плоскость m_x с параллельным ей вектором расположенные вслед за ними симметрические операции плоскости d_y - m_y и:

- операция m_y не изменит ни положения, ни характера исходной плос-кости m_x;

- взаимодействие m_x и m_y обусловит появление оси 2-го порядка, характер (2 или 2₁) и позиция которой будут определяться суммарным вектором . Однако вместо вектора в суммировании будет участвовать отраженный в плоскости m_y его энантиоморфный "двойник", идущий по другой диагонали этой же сетки ячейки: ;

- затем на полученную плоскость d_x' c энантиоморфным вектором , будет действовать вектор, который перенесет ее в соответствующем направлении на свою величину.

? итоге окажется, что исходная плоскость d_x (= m_x ^. ) будет неизбежно сопровождаться чередующейся с ней параллельной и отстоящей от нее на плоскостью d_x' (= m_x ^. ) со скольжением по другой (!) диагонали грани ячейки. При этом начало вектора совпадает с концом вектора, что как раз необходимо для нахождения суммарного вектора , с которым и должна взаимодействовать полученная ранее на промежуточной стадии ось 2-го порядка. Вертикальная составляю-щая вектора , равная половине трансляции решетки , обусловит винтовой характер возникшей оси (2_1(z)), а перпендикулярная к этой оси горизонтальная составляющая суммарного вектора локализует ось 2₁ на своей середине.

?аким образом, результатом взаимодействия двух клиноплоскостей d_x и d_y с учетом рассмотренной последовательности составляющих их мнимых операций будет винтовая ось 2_1(z) в позиции (рис. 42, а).

2. Изменение последовательности мнимых операций симметрии взаимодействующих клиноплоскостей на обратную d_y ^. d_x = [m_y ^. ] * [m_x ^. ] (2) приведет к появлению энантиоморфной составляющей (=, отраженной в m_x) и затем к возникновению также винтовой оси 2_1(z), но в иной позиции: (рис. 42, а).

3. Взаимодействие клиноплоскостей d_x и d_y с иным направлением трансляционных векторов [m_x ^. - ] * [m_y ^. ] (3) обусловит не винтовую, а поворотную ось 2_z в позиции (рис. 42, б).

4. Изменение последовательности симметрических операций (3) на (4) - [m_y ^. ] * [m_x ^. - ] - приведет к возникновению также поворотной оси 2_z , но уже в иной позиции: (рис. 42, б).

Другие указанные выше комбинации (5 - 8) симметрических операций клиноплоскостей d_x и d_y к иным положениям осей 2 и 2₁ не приведут. В итоге найдены четыре позиции осей 2 и 2₁ , чередующихся одна с другой через 1/4 координатных трансляций элементарной ячейки (см. с. 88 ).