Теория симметрии кристаллов

IV.9. Взаимодействие двух плоскостей симметрии, расположенных под углом 45^o друг к другу

Рис. 43

При рассмотрении частного случае теоремы Эйлера, а именно: взаимодействия зеркальных плоскостей симметрии (см. с. 18) - было доказано, что последовательно проведенные операции отражения в плоскостях m и m' , расположенных под углом , равносильны повороту вокруг результирующей оси, порядок которой зависит от угла ( = 2 ). Однако при доказательстве этой теоремы не учитывалась очередность выстроенных симметрических операций. А ведь именно от этого зависят характер поворота вокруг результирующей оси и ее положение.

В случае отсутствия у порождающих плоскостей симметрии трансляционных компонент, перпендикулярных возникшей оси 4-го порядка, ее положение четко фиксируется линией пересечения исходных плоскостей. Однако направление поворота вокруг результирующей оси будет зависеть от того, в каком порядке осуществляются операции симметрии. Если первой операцией является отражение в плоскости m_y (точка 1 перейдет в точку 2) (рис. 43, а), а второй - отражение в m_d (точка 2 перейдет в точку 3), то исходная и конечная фигуры совместятся поворотом вокруг возникшей оси 4_z на угол 90^o против часовой стрелки. Если же сначала осуществить отражение в плоскости m_d , а затем в m_y (рис. 43, б), то результирующий поворот будет направлен в противоположную сторону (по часовой стрелке): от плоскости первого отражения к плоскости второго отражения [19], т.е. получим различные результирующие повороты: m_y ^. m_d = 4¹, m_d ^. m_y = 4^-1.

Рис. 44

Если одна (или обе) из исходных плоскостей симметрии имеет горизонтальную трансляционную составляющую, то образовавшаяся ось 4-го порядка за счет взаимодействия с этим вектором будет перенесена в центр построенного на нем квадрата, при этом квадрат будет расположен от этого вектора в сторону направления вращения вокруг возникшей оси (см. с. 56). Однако при выявлении положения результирующей оси следует также учитывать последовательность проводимых симметрических операций, в противном случае могут быть получены ошибочные результаты. Например, ошибочно предположив, что возникшая поворот-ная ось 4_z (у взаимодей-ствующих плоскостей отсутствуют вертикаль-ные трансляционные компоненты!) попадет в квадрат, центр которого располагается на диаго-нальной плоскости m_d (рис. 44, а), увидим, что результатом взаимодей-ствия оси 4 и m_d будет появление координатной плоскости m_y, чередую-щейся с исходной a_y, что невозможно в Р-решетке (см. с. 88).

В действительности же результатом двух последовательных отражений в плоскостях a_y и m_d будет ось 4_z, расположенная в центре квадрата, построенного не на векторе (рис. 44, а), а на векторе ему энантиоморфном , так как операция отражения в плоскости m_d изменит направление вектора . Смена последовательности отражений на обратную - вначале в плоскости m_d , а затем в a_y - поменяет и положение результирующей оси (рис. 44, б): она окажется в центре квадрата, построенного на исходном векторе , ибо последовательность операций симметрии (m_d ^. a_y = m_d ^. m_y ^. ) такова, что этот вектор не подвержен действию других симметрических операций. В итоге видим, что ось 4-го порядка располагается по ту сторону от трансляционного вектора, куда направлен результирующий поворот, т.е. от плоскости первого отражения ко второй. Изменение направления трансляционного вектора + на обратный - к новым положениям оси 4_z не приведет.