Теория симметрии кристаллов

VII.2.3. Графическое представление пространственных групп моноклинной сингонии

Рис. 68

Графики пространственных групп существенно облегчают понимание пространственного расположения элементов симметрии и расположение правильных систем точек (см. с. 232), а также определение их характеристик. Особенно это касается графиков моноклинной сингонии, где два сечения элементарной ячейки прямоугольны, а одно, перпендикулярное единственному особому направлению, оказывается косоугольным.

Прежде всего следует остановиться на новых условных обозначениях элементов симметрии, используемых в графиках пространственных групп низшей категории. Помимо вертикальных элементов симметрии - осей 2-го порядка и плоскостей, с обозначениями которых мы уже знакомы (см. с. 5, 47, 49), а также центров инверсии, обозначаемых на графиках пространственных групп маленьким кружочком (^o ), в графиках моноклинных групп появляются горизонтальные элементы симметрии, обозначения которых выносятся за пределы контура элементарной ячейки: поворотные оси 2-го порядка изображаются обычно стрелкой (), винтовые оси 2_{1 -} также стрелкой, но лишь с одним "крылом"(). Обозначения горизонтальных плоскостей симметрии (m, a, b, n, d соответственно) выносятся в верхний левый угол графика. Дробное число, стоящее рядом со знаком элемента симметрии, указывает на его высоту относительно нулевого уровня (z = 0) элементарной ячейки.

Для того чтобы представить графики пространственных групп моноклинной сингонии в стандартном для данной группы аспекте - в классической установке, строится проекция на плоскость, перпендикулярную оси Z ячейки, т.е. проекция на плоскость xy (рис. 68, а). Такую прямоугольную проекцию полезно сопроводить графиком группы, спроектированной на плоскость косоугольной грани xz, т.е. в новой установке, где угол моноклинности оказывается не искаженным (рис. 68, б).

Рис. 69

При построении графиков голоэдрических моноклинных групп вначале на них наносятся "подрешеточные" элементы симметрии, принятые за порождающие: оси 2-го порядка и перпендикулярные к ним плоскости симметрии. Результатом взаимодействия данных плоскостей симметрии и осей 2-го порядка с перпендикулярными к ним трансляциями решетки () являются плоскости (или соответственно оси) симметрии того же наименования, параллельные исходным и отстоящие от них на ( см рис. 25 и 69), т.е. появляется периодичность в расположении одноименных элементов симметрии (плоскостей или осей 2-го порядка) через (см. с. 49 и 52). Чередование разноименных плоскостей симметрии (например, c(n) или осей 2-го порядка (2(2₁)) через (рис. 69) объясняется присутствием в рассматриваемой группе дополнительного, центрирующего грань С элементарной ячейки трансляционного вектора , расположенного косо и к исходной плоскости с, и к оси 2. Одна из координатных компонент, на которые раскладывается вектор , - параллельная исходному элементу симметрии - изменит его наименование (в данном случае плоскость с, получив дополнительное скольжение, превратится в клиноплоскость n, а ось 2 - в 2₁), вторая компонента, перпендикулярная производному элементу симметрии (n или 2₁), перенесет их на свою середину, обусловив этим чередование плоскостей с(n) вдоль координатного направления Z и 2(2₁) вдоль оси X (рис. 69).

В результате взаимодействия плоскости симметрии и перпендикулярной к ней оси 2-го порядка возникает обязательный для голоэдрических групп центр инверсии. Однако если в пр. гр. (см. рис. 68) центр инверсии оказывается сдвинутым трансляционной компонентой винтовой оси 2₁ () из точки пересечения оси и плоскости на ее (компоненты) середину, т.е. на , и как бы существует самостоятельно, то в пр. гр. за счет присутствия дополнительного вектора , а следовательно, появления как бы "вложенных" плоскостей симметрии (n) все центры (исходные и производные) на графике оказываются локализованными на плоскостях скользящего отражения, сохраняя при этом симметрию позиции .

Заключительным этапом вычерчивания графика пространственной группы является выбор начала координат элементарной ячейки. По принятому в Интернациональных Таблицах [73, 74] стандарту в качестве начала координат самую симметричную ( с максимальной точечной симметрией) и самую неподвижную (жестко фиксированную элементами симметрии) точку (т.е.точку с минимальным числом степеней свободы - минимальным количеством направлений, в которых она может смещаться, не нарушая своей симметрии). Выбор начала координат в моноклинных голоэдрических группах не вызывает затруднений, так как центры инверсии четко фиксируют позиции без степеней свободы (см. рис. 68). Причем если в примитивных группах и группе такой выбор бесспорен - в позиции с максимальной величиной симметрии (равной 4), то в группе из двух систем топологически одинаковых центров инверсии в Интернациональных таблицах традиционно предпочтен центр инверсии, расположенный в исходной плоскости с (см. рис. 69), с такой же величиной симметрии (равной 2), как и в плоскости n.