Теория симметрии кристаллов

VII.2.2. Вывод пространственных групп моноклинной сингонии

Взяв за основу точечные группы моноклинной сингонии: голоэдрическую и гемиэдрические 2 и m, а также возможные моноклинные решетки Браве - Р и С (имеется в виду минералогическая ориентация моноклинных групп, где единственное особое направление совмещено с горизонтальной координатной осью Y), можно вывести все пространственные группы данной сингонии, при этом фактически ограничившись выводом лишь голоэдрических, получив остальные в качестве их подгрупп.

При выводе групп моноклинной голоэдрии С_2h = из трех присутствующих элементов симметрии: , m и 2 - порождающими удобно считать ось 2-го порядка и перпендикулярную к ней плоскость симметрии. И тогда, учитывая, что для каждого из трех знаков символа группы имеются две возможности: решетки Р и С, оси 2 и 2₁, плоскости зеркальные (m) и скользящего отражения, легко получить четыре примитивные и две базоцентрированные голоэдрические группы.

Действительно, в присутствии лишь одного особого направления исчезает возможность принудительного фиксирования двух координатных направлений, а следовательно, и необходимость рассмотрения центрировки косоугольной грани элементарной ячейки, ибо любая ее центрировка приведет к появлению более короткого трансляционного вектора и соответственно к возможности выбора Р-ячейки меньшего размера. Оси 2 и 2₁, так же как и перпендикулярные к ним плоскости, в Р-ячейке из-за отсутствия косо расположенных к оси Y трансляционных векторов становятся независимыми. Поскольку выбор двух координатных осей в моноклинной ячейке в плоскости, перпендикулярной единственному особому направлению, произволен, то трансляционная компонента плоскости скользящего отражения может оказаться по-разному ориентированной относительно выбранного координатного репера. Поэтому плоскость скользящего отражения может получить в зависимости от ориентации ее вектора разные наименования: a, b, c, n или d (см. рис. 66, 67). В Интернациональных таблицах [71 - 73] по традиции предпочтение отдано плоскости скользящего отражения с с трансляционным вектором, часто совпадающим с удлинением кристалла.

Рис. 64

С учетом вышесказанного получим четыре пространственные группы с Р-решеткой: симморфную , гемисимморфные и и асимморфную . Однако такая краткая запись не указывает на установку данной пространственной группы - классическую (минералогическую) или новую (рациональную) (см. c. 90), т.е. на то, с какой координатной осью совмещено единственное особое направление. Этого недостатка лишена развернутая запись пространственной группы с использованием на соответствующих позициях символа единиц - осей 1-го порядка (рис. 64, а). Часто международный символ (символ Германа - Могена) пространственной группы сопровождается ее обозначением по Шенфлису, играющим роль своеобразного "ключа". Например, , где верхний индекс, указывая на определенную пространственную группу, никакой другой смысловой нагрузки, кроме ее порядкового номера, не несет.

Итак, символы перечисленных пространственных групп запишутся следующим образом :

Обозначения Шенфлиса	Классическая установка	Рациональная установка

Пространственные группы с С-решеткой

В базоцентрированных группах вектор лежит в плоскости грани С и расположен косо к единственному особому направлению, выбранному в качестве координатной оси Y элементарной С-ячейки (минералогическая установка). Каждая из координатных компонент вектора = + (рис. 64, б), на которые можно его разложить по правилу паллелограмма, будет взаимодействовать с "подрешеточными" элементами симметрии - плоскостью и перпендикулярной ей осью 2-го порядка - по-разному. Компонента , параллельная плоскости симметрии, вольется в нее как дополнительное скольжение, изменив тем самым ее характер, вторая же компонента , перпендикулярная производной плоскости, перенесет ее на свою середину (см. с. 50), т.е. на , обусловив тем самым чередование в этом направлении плоскостей разного наименования:

m_y  ^. = a_y, a_y ^. --> m_y (a_y);

с_y ^. = m_y ^{. .} = n_y , n_y ^. -->  c_y (n_y) (рис. 64, б).

Те же самые компоненты ( и ) заставят поворотные оси 2 чередоваться с винтовыми 2₁ в плоскости центрированной грани:

2_y ^. = 2_1(y), 2_1(y) ^. --> 2_y(2_1(y)).

Указанные чередования могут быть отмечены в развернутых символах групп: и .

В итоге, с одной стороны, все четыре примитивные группы сольются в одну базоцентрированную , с другой - две из них дадут группу :

Вывод моноклинных гемиэдрических групп легко осуществить, либо задавая на единственной позиции символа возможные в моноклинной ячейке разновидности осей 2-го порядка или плоскостей симметрии, либо путем отбрасывания из голоэдрических групп "лишних" элементов симметрии. При этом надо иметь в виду, что в символах всех групп моноклинной голоэдрии в скрытом виде находится центр инверсии, являющийся произведением оси 2-го порядка и перпендикулярной к ней плоскости симметрии. Поэтому, отбрасывая центр инверсии, мы одновременно должны убрать либо плоскость симметрии, либо ось 2-го порядка. В первом случае придем к трем пространственным группам, подчиненным точечной С₂, во втором - к четырем группам С_s:

Схема 1

Рис. 65

Следует также подчеркнуть, что в группах Cm и Сс плоскости m и с независимы. Присутствие же вектора , косо расположенного к заданной плоскости, задает чередование плоскостей m(a) и c(n). Этому же вектору в группе С2 обязано чередование осей 2(2₁).

Поскольку в моноклинных кристаллах отсутствие особых направлений в плоскости симметрии допускает произвольный выбор координатных осей - ребер a и b - элементарной ячейки, исследователь часто сталкивается с неоднозначностью описания той или иной моноклинной структуры. Действительно, различный выбор координатных направлений, часто с нарушением принципа минимальности объема элементарной ячейки, приводит к тому, что трансляционные компоненты плоскостей скользящего отражения оказываются по-разному ориентированными относительно координатного репера, что приводит к изменению их наименования. Трудность в установлении ориентации элементарной ячейки появляется еще и в том случае, если исследователем не указано наименование угла моноклинности ( или ), т.е. тип установки кристалла (классический или рациональный). В этом случае по символу, если отсутствуют единицы на его свободных позициях, часто нельзя судить об установке моноклин-ного кристалла. Например, символ , с одной стороны, представ-ляет пространственную группу в минералогической установке, сводимую к (рис. 65, а), и, с другой - пространственную группу - наиболее распространенную ее установку (рис. 65, б).

Как видно, при таком написании группы без дополнительных указаний (символа Шенфлиса, наименования угла моноклинности, присутствия единиц на "пустых" позициях международного символа) группы и неразличимы.

Рассмотрим некоторые часто встречающиеся аспекты пространственных групп моноклинной сингонии (в скобках указаны обозначения групп в рациональной установке):

1. (рис. 66, а).

Рис. 66

Трансляционная компонента плоскости с направлена вдоль оси Z. Изменение наименования осей X и Z приведет к тому, что трансляционная компонента плоскости скользящего отражения окажется ориентированной параллельно оси X и пространственная группа в этом случае запишется как (рис. 66, б). При ином выборе координатных направлений (рис. 66,в) трансляционная компонента плоскости симметрии окажется направленной в центр грани (010) (или (001) для иной установки), т.е. станет компонентой клиноплоскости n, а следовательно, пространственная группа запишется как , либо компонентой клиноплоскости d (рис. 66, г), пр. гр. . Центрированные же ячейки (рис. 66, д, е) будут характеризоваться пространственными группами и соответственно.

Таким образом, некоторая свобода в выборе координатных направлений привела к нескольким аспектам пр. гр. : в классической установке и соответственно к - в новой.

2. (рис. 67, а).

Рис. 67

Трансляционная компонента плоскости с направлена вдоль оси Z. Перемена наименований осей X и Z приведет к изменению обозначений трансляционной компоненты на , и следовательно, к пространственной группе (рис. 67, б).

При ином выборе координатных направлений трансляционная компонента плоскости скользящего отражения направлена в центр грани (010), т.е. становится компонентой либо клиноплоскости n (рис. 67, в) - пространственная группа в этом случае запишется как , либо клиноплоскости d (рис. 67, г) - пр. гр. . Представление заданной решетки в I-аспекте приведет к пространственным группам (рис. 67, д) и (рис. 67, е).

Таким образом, пространственная группа может быть представлена кроме наиболее распространенного аспекта аспектами в классической и соответственно в новой установке 1.