Теория симметрии кристаллов

рис. 149

К 17 классическим двухмерным группам симметрии ¹ - 17 полярным плоским группам для одноцветных слоев, обладающим одним из каких-либо двух противоположных качеств (или свойств) (рис. 149), добавим в качестве самостоятельной операции антитождество 1', что приведет к 17 нейтральным (серым) группам. Например, pmm2 --> pmm2 ^. 1', p4bm --> p4bm ^. 1' и т.д. (табл. 6)

рис. 150

Двухмерные группы антисимметрии смешанной полярности, так же как и одномерные, можно разделить на два семейства: с простой (классической) решеткой, но с черно-белыми подрешеточными элементами симметрии и с цветной решеткой. По-разному "зацветив" порождающие элементы симметрии в 15 исходных полярных группах (за исключением групп р1 и р3), получим первое семейство: 26 двухмерных черно-белых (шубниковских) групп (табл. 6, рис. 150). Например, pmm2 --> pm' m2' (= pmm' 2') и pm' m' 2, p4bm --> p4' b' m, p4' bm' и p4b' m'.

Прежде чем перейти к выводу групп второго семейства - групп с антипереносами, необходимо вывести двухмерные цветные решетки. Для этого, взяв за основу 5 разных по симметрии плоских решеток (см. рис. 53), следует выяснить возможные позиции в них для цветных

рис. 151

узлов и этим определить типы цветных центрировок. Поскольку дважды повторенный антиперенос приводит к классической трансляции , то цветные узлы можно ожидать на середине последней, т.е. на серединах ребер плоской ячейки (параллелограмма) и в ее центре. Так как дополнительный узел должен быть трансляционно идентичным вершинному, т.е. может располагаться только в позициях с симметрией вершинного узла, то за отсутствием таковых в плоской решетке с симметрией р6mm она цветной быть не может.

В решетке с симметрией р112 нет принципиальной разницы в центрировке разных ребер ячейки (см. цветную вставку, рис. 151,1), как нет смысла и в центрировке самой ячейки (ее базиса), ибо возможность произвольного выбора координатных направлений (из-за отсутствия горизонтальных особых направлений) не сделает ее оригинальной (рис. 151,2). Таким образом, p'_a = p'_b = p'_С ² . Одновременная центрировка двух ребер ячейки (рис. 151,3) или одного ребра и ее базиса (рис. 151,4) приведет к возникновению классической трансляции , т.е. к возможности выбора ячейки p'_b (или p'_a ) вдвое меньшего размера. Одновременная

центрировка и ребер и базиса ячейки (рис. 151,5) приведет к вдвое меньшим "серым" трансляциям, т.е. к нейтральной (серой) группе.

рис. 152

В ячейке с симметрией pmm2 ограниченный набор особых направлений, не позволяющий выбрать ячейку по-иному, приводит к двум типам центрировок (см. цветную вставку, рис. 152, 1, 2): p'_a = p'_b и p'_C . Одновременная цветная центрировка обоих ребер ячейки (рис. 152,3) приведет к возникновению классической трансляции, центрирующей базис ячейки, т.е. к другому типу решетки - с'_а,b . Центрировка же центра ячейки

рис. 153

и ее ребер (рис. 152,4), как и в предыдущем случае, приведет к "серым" трансляциям и, соответственно к выбору ячейки меньшего размера.

Центрировка одного ребра (а) ячейки с симметрией cmm2 (рис. 153,а) приводит к автоматической центрировке другого ее ребра (b). В результате получим лишь один вариант цветной решетки - с'_a,b = c'. Центрировка диагонального вектора бессмысленна, ибо на нем отсутствуют позиции, равные по симметрии вершинному узлу.

В решетке с симметрией р4mm центрировка одного ребра (a) ячейки (рис. 153, б) приведет к центрировке и другого ее ребра (b) (ось 4!), т.е. к появлению новой, более короткой классической трансляции, центрирующей ячейку, а следовательно, и к возможности выбора примитивной ячейки меньшего размера - р'_С .

В итоге к 5 классическим двухмерным решеткам добавилось 5 типов черно-белых (цветных) решеток:

рис. 154

моноклинной сингонии - p, p'_a = p'_b = p'_C ,

ромбической сингонии - p, p'_a = p'_b, p'_C ,

c, c'_a,b = c',

тетрагональной сингонии - p, p'_C ,

гексагональной сингонии - p.

рис. 155

В результате количество плоских групп антисимметрии с антипереносами увеличилось до 20 (см. табл. 6 и рис. 150). Следует иметь в виду, что введенный антиперенос, взаимодействуя со всеми классическими элементами симметрии группы, обусловит чередование (или тождественное равенство) классических элементов и элементов антисимметрии. Например, p'_ab(b') a m' 2(2'). Примеры проекций двухмерных групп, изоморфных группам pba2 и cmm2, приведены на рис. 154 и 155 (см. цветную вставку).

рис. 156

80 шубниковских двухмерных групп, включающих 17 полярных (классических), 17 нейтральных (серых) и 46 собственно групп антисимметрии, проиллюстрированы черно-белыми мозаиками в "Атласе кристаллографических групп симметрии" А.В.Шубникова [52](рис. 156). Группы симметрии изображены в нем конгруэнтными или энантиоморфными асимметричными фигурками (белыми и черными - заштрихванными - треугольниками ) (рис. 157, а, б).

При наложении друг на друга белого и черного треугольников возникает нейтральная фигура "серого" цвета, обозначенная в "Атла-се " черной точкой (рис. 157, в). Крапом показано свободное, не занятое фигурами пространство. Каждая группа симметрии представлена одной элементарной ячейкой.

рис. 157

В качестве примера опишем симметрию некоторых мозаик. На рис. 158, а (см. цветную вставку) (см. также рис. 156, 16) легко обнаруживаются центрирующая базис ячейки трансляция , две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии - m'_x и m_y, одна из которых цветная, и как результат их взаимодействия - цветные оси 2-го порядка 2'_z. Взаимодействие m'_x ^. приведет к чередованию m'_x(b'_x), m_y ^. --> m_y(a_y), 2'_z ^. --> 2'_z(2'_z). В результате имеем шубниковскую группу (группу смешанной полярности с простой с-решеткой): сm' m2' = cm' (b') m(a) 2' (2') (рис. 158, б). Следует обратить внимание на то, что количество треугольников обоих сортов (заштрихованных и пустых) в элементарной ячейке соответствует порядку данной группы антисимметрии.

рис. 159

Рис. 159, а (см. цветную вставку) (см. также рис. 156, 41) иллюстрирует ромбическую группу с цветной решеткой p'_b и классическим набором элементов симметрии: b_x , m_y и 2_z. При этом за счет взаимодействия с цветной трансляцией возникает тождественность b_x

рис. 158

m'_x и чередование m_y(m'_y) и 2_z(2'_z), т.е. получим группу антисимметрии p'_b bm2 = p'_b b m' m(m') 2(2'). Обратим внимание на то, что "зацвечивание" удваивает порядок группы симметрии (например, порядок группы pbm2, равный четырем, повышается до восьми в группе p'_bbm2).

Треугольники, снабженные черными точками на рис. 159, б (см. также рис. 156, 24), указывают на нейтральную (серую) группу антисимметрии - pb11^. 1'. Присутствие самостоятельной операции антитождества 1' также удваивает порядок группы (например, порядок группы pb11 равен 2, pb11^. 1' - 4).

Тетрагональная примитивная ячейка изображена на рис. 159, в (см. также рис. 156, 60). Результатом взаимодействия координатных плоскостей симметрии с диагональными (m'(g')) будет ось антисимметрии 4-го порядка (4' ). Шубниковская группа - p4' bm'. Порядок классической подгруппы подтверждается количеством треугольников - одноцветных (4) и разноцветных (8).