Задачи восьмой олимпиады

8.1. На рисунке изображена эмблема олимпиады. Она представляет собой замкнутую ленту, сложенную так, что образовавшиеся просветы являются одинаковыми равносторонними треугольниками. Если в некотором месте ленту разрезать перпендикулярно к ее краям и развернуть, то получится прямоугольник. Найдите минимальное отношение его сторон.

8.2. Сообщение, составленное из нулей и единиц, шифруется двумя способами. При первом способе каждый нуль заменяется на последовательность из нулей и следующих за ними единиц, а каждая единица заменяется на последовательность из нулей. При втором способе шифрования каждая единица заменяется на последовательность из единиц и следующих за ними нулей, а каждый нуль заменяется на последовательность из нулей. При каких натуральных значениях , , найдется хотя бы одно сообщение, которое будет одинаково зашифровано обоими способами? Укажите общий вид таких сообщений.

8.3. Сообщение, подлежащее зашифрованию, представляет собой цифровую последовательность, составленную из дат рождения 6 членов оргкомитета олимпиады. Каждая дата представлена в виде последовательности из 8 цифр, первые две из которых обозначают день,следующие две - месяц, а остальные - год. Например, дата рождения великого математика Л.Эйлера 4 апреля 1707 года представляется в виде последовательности 04041707. Для зашифрования сообщения строится ключевая последовательность длины 48. Для еепостроения все нечетные простые числа, меньшие 100, выписываются через запятую в таком порядке, что модуль разности любых двух соседних чисел есть та или иная степень числа 2. При этом каждое простое число выписано ровно один раз, а числа 3, 5 и 7 записаны в виде 03, 05 и 07 соответственно. Удалив запятые из записи этой последовательности, получим искомую ключевую последовательность.

При зашифровании цифровой последовательности, представляющей сообщение, ее цифры почленно складываются с соответствующими цифрами ключевой последовательности, при этом каждая полученная сумма заменяется ее остатком от деления на 10. В результате зашифрования сообщения получена последовательность:

150220454213266744305682533362327363924975709849

Определите даты рождения членов оргкомитета олимпиады.

8.4. Квадрат размера разбит на клетки размера . В начальный момент некоторые клетки окрашены в черный цвет, а остальные - в белый. По клеткам квадрата прыгает Криптоша. В момент попадания Криптоши в очередную клетку происходит изменение цвета на противоположный у всех тех клеток, расстояния от центров которых до центра клетки с Криптошей есть натуральные числа. После того как Криптоша побывал в каждой клетке квадрата ровно 1999 раз, квадрат оказался раскрашенным так, как показано на рисунке. Восстановите цвет всех клеток квадрата в начальный момент.

8.5. Для всех действительных чисел , решите уравнение

8.6. Разложите число на простые множители.