Задачи девятой олимпиады

9.1. Суммой двух букв назовeм букву, порядковый номер которой в алфавите имеет тот же остаток от деления на число букв в алфавите, что и сумма порядковых номеров исходных двух букв. Суммой двух буквенных последовательностей одинаковой длины назовем буквенную последовательность той же длины, полученную сложением букв исходных последовательностей, стоящих на одинаковых местах.

а) Докажите, что существует последовательность из 33 различных букв русского алфавита, сумма которой с последовательностью букв, представляющей собой сам этот алфавит, не содержит одинаковых букв.

б) Докажите, что сумма любой последовательности из 26 различных букв английского алфавита с последовательностью букв, представляющей собой сам этот алфавит, содержит не менее двух одинаковых букв.

9.2. Некоторую последовательность из букв русского алфавита

А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я

раз прибавили по правилу задачи 9.1 к слову КРИПТОША. Получили слово АНАЛИТИК. Найдите эту последовательность. Какое наименьшее число раз надо прибавить ее к слову АНАЛИТИК, чтобы получить слово КРИПТОША?

9.3. Каждую букву исходного сообщения заменили ее двузначным порядковым номером в русском алфавите согласно таблице

А Б В Г Д Е Ж З И Й К Л М Н О П 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

Полученную цифровую последовательность разбили (справа налево) на трехзначные цифровые группы без пересечений и пропусков. Затем, каждое из полученных трехзначных чисел умножили на 77 и оставили только три последние цифры произведения. В результате получилась следующая последовательность цифр:

317564404970017677550547850355.

Восстановите исходное сообщение.

9.4. Клетки квадрата пронумеровали так, что клетка в правом нижнем углу получила номер 1, а все остальные получили разные номера от 2 до 16. Оказалось, что суммы номеров клеток каждой строки, каждого столбца, а также каждой из двух диагоналей квадрата одинаковы (``магический'' квадрат). Клетки квадрата заполнили буквами некоторого сообщения так, что его первая буква попала в клетку с номером 1, вторая - в клетку с номером 2 и т.д. В результате построчного выписывания букв заполненного квадрата (слева направо и сверху вниз) получилась последовательность букв

Ы Р Е У С Т Е В Ь Т А Б Е В К П.

Восстановите магический квадрат и исходное сообщение.

9.5. Окружность радиуса 5 с центром в начале координат пересекает ось абсцисс в точках и . Укажите все возможные расположения на окружности точек , и , удовлетворяющие одновременно следующим четырем условиям:

(1) координаты точек , и  - целые числа;

(2) ордината точки меньше нуля, а ординаты точек и больше нуля;

(3) абсцисса точки меньше абсциссы точки ;

(4) сумма площадей частей круга, лежащих внутри углов и равна половине площади круга, ограниченного исходной окружностью.

9.6. Для всех значений параметра решите неравенство