Теория симметрии кристаллов

I.3.3. Использование теоремы Эйлера для решения конкретных кристаллографических задач

Рис. 11

При решении конкретных кристаллографических задач, помимо известных из сферической тригонометрии условий существования любого сферического треугольника:

> a - полупериметр сферического треугольника всегда больше любой из его сторон,

необходимо учитывать и ограничения, касающиеся порядков осей в кристаллическом пространстве ( n = 1, 2, 3, 4, 6), а следовательно, углов сферического треугольника. Поскольку углы между сторонами сферических треугольников, равные половинам элементарных углов поворота осей симметрии, могут принимать лишь значения 90, 60, 45 и 30^o , это существенно уменьшает количество вариантов возможных сочетаний кристаллографических осей симметрии.

Так, на основе анализа суммы углов кристаллографического сферического треугольника нетрудно установить тот факт, что в кристаллах возможны лишь следующие сочетания осей симметрии:

2, 2, 2 с суммой углов 90^o + 90^o + 90^o = 270^o ,

3, 2, 2 с суммой углов 60^o + 90^o + 90^o = 240^o ,

4, 2, 2 с суммой углов 45^o + 90^o + 90^o = 225^o ,

6, 2, 2 с суммой углов 30^o + 90^o + 90^o = 210^o ,

3, 3, 2 с суммой углов 60^o + 60^o + 90^o = 210^o ,

4, 3, 2 с суммой углов 45^o + 60^o + 90^o = 195^o .

Все остальные сочетания осей кристаллографических порядков невозможны, так как суммы углов соответствующих сферических треугольников либо равны, либо меньше 180^o , что противоречит условию их существования.

Первые четыре варианта сочетания осей симметрии (2, 2, 2; 3, 2, 2; 4, 2, 2; 6, 2, 2) образуют сферические треугольники по крайней мере с двумя прямыми углами (А и В) (рис. 11). А так как вершина С служит полюсом дуги АВ, то С = с. Иными словами, зная угол между двумя пересекающимися осями 2-го порядка (угол С), легко установить и порядок третьей - результирующей - оси (с элементарным углом поворота = 2С) и ее положение.

Решение указанных сферических треугольников по иным их элементам не вызывает затруднений, так как третья ось кристаллографического порядка может возникнуть лишь в случае, если углы между заданными осями симметрии - 3 и 2, 4 и 2, 6 и 2 - равны 90^o . Кристаллографические сферические треугольники, в которых сочетаются две оси высшего порядка - 3, 3, 2 и 4, 3, 2 - решаются с использованием формулы косинусов сторон сферического треуголь-ника (8):

Все рассмотренные выше взаимодействия касались лишь поворотных осей симметрии n-го порядка: т.е. сочетаний операций симметрии 1-го рода (1 р. ^. 1 р. --> 1 р.). Естественно рассмотреть и результат взаимодействия операций 2-го рода, а также разнородных операций симметрии.

Если исходными являются две инверсионные оси, каждая из которых помимо операций поворота содержит в общем случае и мнимую операцию инверсии, результирующей следует ожидать также простую поворотную ось, ибо дважды повторенная операция инверсии даст операцию тождественности, оставляющую фигуру на месте. Останутся лишь повороты - операции 1-го рода, сочетание которых обусловит появление также операции 1-го рода, т.е. поворотной оси:

' _n  ^. '' _n --> L_n ( 2 р. ^. 2 р.--> 1 р.).

И наконец, взаимодействие разнородных операций симметрии приведет к операции 2-го рода (1 р. ^. 2 р. --> 2 р.), т.е.

L_n ^. _n --> ' _n (= '' _n ).

Таким образом, окончательная формулировка теоремы Эйлера будет следующей.

Взаимодействие двух осей n-го порядка, поворотных или инверсионных, приводит к возникновению проходящей через точку их пересечения третьей оси симметрии с элементарным углом поворота, вдвое превышающим угол между исходными осями. При этом результирующая ось окажется поворотной, если исходными являются две одинаковые оси (обе поворотные или обе инверсионные), и инверсионной (зеркальной), если порождающие оси разные.