Теория симметрии кристаллов

I.3.4. Частные случаи теоремы Эйлера

Для решения большинства кристаллографических задач достаточно ограничиться рассмотрением частного случая теоремы Эйлера, т.е. взаимодействия осей 2-го порядка - простых (L₂) и (или) инверсионных (₂ = Р). В результате получим три варианта их сочетаний - три теоремы взаимодействия осей:

,

' ₂ (Р' ) ^. '' ₂ (Р'' ) = L_n ,

L₂ ^. ₂ (Р ) = _n (= ' _n ),

для доказательства которых инверсионную ось 2-го порядка удобно заменить на перпендикулярную к ней зеркальную плоскость симметрии (Р ). В данном случае нет смысла обращаться к теоремам сферической тригонометрии, а следует использовать модельное доказательство, поскольку все построения осуществляются на плоскости.

Теорема 1. Взаимодействие двух пересекающихся под углом поворотных осей симметрии 2-го порядка эквивалентно повороту вокруг результирующей, также поворотной оси симметрии, проходящей через точку их пересечения перпендикулярно плоскости взаимодействующих осей; при этом элементарный угол поворота a результирующей оси вдвое превышает угол между исходными осями:

( = 2 ).

^.ля определения положения и порядка порожденной оси воспользуемся модельным доказательством (рис. 12, а). Так как обе исходные оси - элементы симметрии 1-го рода, то асимметричная фигура 1 дважды преобразуется в конгруэнтную ей. Поэтому результирующей операцией может быть лишь операция симметрии 1-го рода - простой поворот:

.

Действительно, конгруэнтные фигуры 1 и 3 могут быть совмещены друг с другом поворотом вокруг вертикальной оси L_n на угол = 2 . Возникшая ось перпендикулярна к плоскости исходных осей 2-го порядка. При этом поворот будет направлен в сторону от оси 1-го поворота ко 2-й оси, т.е. в данном случае против часовой стрелки.

Теорема 2. Взаимодействие двух пересекающихся под углом зеркальных плоскостей симметрии эквивалентно простому повороту вокруг результирующей оси симметрии, совпадающей с линией их пересечения; при этом элементарный угол поворота a этой оси вдвое превышает угол между исходными осями:

(₂ ^. ' ₂) = L_n ( = 2 ).

^.ак как порождающие плоскости - элементы симметрии 2-го рода, то исходная фигура 1 при отражении в первой из них (Р) преобразуется в энантиоморфную фигуру 2, а затем, при последующем отражении в плоскости Р' , снова окажется в положении 3, конгруэнтном начальному (рис. 12, б). Отсюда результирующей операцией может быть лишь операция 1-го рода - поворот:

.

Из рис. 12, б видно, что "правая" фигура 1 и конечная 3, тоже "правая", совмещаются друг с другом простым поворотом на угол = 2 вокруг оси L_n, являющейся линией пересечения зеркальных плоскостей симметрии, в направлении от плоскости 1-го отражения ко 2-й плоскости. Поскольку нормали к зеркальным плоскостям симметрии Р и Р' совпадают с инверсионными осями ₂ и ' ₂, их взаимодействие даст тот же результат.

Теорема 3. Взаимодействие поворотной оси 2-го порядка и зеркальной плоскости симметрии, пересекающихся под углом , эквивалентно действию зеркальной оси симметрии с элементарным углом поворота = 2 или соответствующей ей инверсионной оси с элементарным углом поворота 180^o - :

= _n (=_n' ) ( = 2 ).

Рис. 12

если взаимодействуют операции симметрии 1-го и 2-го рода, то результирующей оказывается операция 2-го рода (рис. 12, в). "Правая" фигура 1 осью L₂ переводится в конгруэнтное положение 2, которое после отражения в плоскости Р займет положение 3, энантиоморфное исходному. "Правая" (1) и "левая" (3) фигуры могут быть совмещены друг с другом уже двумя симметрическими операциями - поворотом на угол = 2 и отражением в зеркальной плоскости, перпендикулярной оси поворота, - составляющими операциями зеркальной оси симметрии (_n ) либо поворотом на угол 180^o - в противоположную сторону и "отражением" в точке (инверсией), совпадающей с точкой пересечения исходных плоскости и оси. А это уже составляющие операции инверсионной оси симметрии _n ( где ):

.

^.се три симметрические операции в рассмотренных теоремах взаимосвязаны, т.е. для каждой из теорем справедливы перестановки: за порождающую можно принять любую пару симметрических операций. Например, L₂ ^. P = _n , _n ^. P = L₂, _n ^. L₂ = P и т.д. Однако обратные теоремы невозможны, т.е. каждый порождающий элемент симметрии может существовать самостоятельно, без породивших его элементов симметрии.

В заключение необходимо отметить, что все взаимодействия симметрических операций (а следовательно, и сочетания элементов симметрии) есть следствия и частные случаи приведенных выше теорем, а точнее, одной фундаментальной осевой теоремы Эйлера.