Теория симметрии кристаллов

VII.2.7. Принцип "классного" вывода тетрагональных пространственных групп симметрии

Прием, аналогичный выводу пространственных групп тетрагональной тетартоэдрии путем их механического перечисления, приведен в "классном" методе [5, 18], где выводу голоэдрических групп предшествует анализ возможности замены зеркальных плоскостей симметрии симморфных групп ( и ) теми или иными трансляционными плоскостями.

Из трех типов горизонтальных плоскостей 1-й позиции символа - m, n и a - с осями 4 и 4₂ совместимы лишь первые две, плоскость же а, заданная перпендикулярно оси 4 или 4₂, будучи ею повернута на 90^o , создаст дополнительную горизонтальную трансляцию в центр базиса ячейки, что сократит ее горизонтальные параметры (см. рис. 84). С энантиоморфными осями 4₁ и 4₃ , напротив, совместимой будет лишь плоскость а, которая под их действием, превратившись в плоскость b, окажется отстоящей от исходной на 1/4 вертикальной трансляции , т.е. возникнет дополнительный вектор, а значит, и возможное лишь в I-решетке чередование a(b) (как и чередование m(n)).

На второй координатной позиции символа в Р-решетке могут располагаться плоскости любого типа: m, c, b, n; в I-решетке независимыми окажутся m(n) и c(b). На диагональной позиции за счет косо расположенных к ней координатных трансляций в Р-решетке будет наблюдаться чередование m(b) и c(n); в I-решетке каждая из чередующихся плоскостей будет отождествлена с плоскостью иного наименования: m n и b c. Наличие вектора , центрирующего диагональную (110) плоскость ячейки, делает возможным присутствие на этой (третьей) позиции символа клиноплоскости d. Плоскость же а 1-й позиции объемноцентрированной решетки превратится в "алмазную" (d) в F-аспекте. Вышесказанное позволяет легко перечислить все 16 примитивных голоэдрических групп симметрии:

При переходе к I-решетке количество голоэдрических групп сокращается вдвое за счет чередования плоскостей симметрии на 1-й позиции m(n) (16:2 = 8), еще вдвое - за счет чередования на 2-й позиции плоскостей m(n) и c(b) (8:2 = 4), и взаимозависимость плоскостей 3-й позиции m n(c b) уменьшит количество пространственных групп еще в два раза (4:2 = 2), т.е. получим две пр. гр.: и . Однако возможность существования в группах с I-решеткой на 1-й позиции плоскости a, которая обязательно должна сопровождаться диагональной клиноплоскостью d 3-й позиции, количество пространственных I-групп удвоит, т.е. будем иметь еще две пр. гр.: и .

Пространственные группы тетрагональной гемиэдрии, подчиненные точечным классам , 4mm, и , легко получаются из голоэдрических, как их подгруппы.

Следует отметить, однако, что при таком выводе - отбрасывании элементов симметрии 2-го рода из голоэдрических Р-групп - не могут быть получены в качестве их подгрупп осевые группы классов 4 и 422 с энантиоморфными осями 4₁ и 4₃ . Поэтому эти недостающие группы приходится выводить иным путем: добавлением к операциям групп класса С₄ = Р4, Р4₁, Р4₂, Р4₃ поворота вокруг оси 2-го порядка (2 или 2₁), перпендикулярной главной оси:

Р422, Р4₁22, Р4₂22, Р4₃22, Р42₁2, Р4₁2₁2, Р4₂2₁2, Р4₃2₁2.