Теория симметрии кристаллов

VII.2.6. Вывод пространственных групп тетрагональной сингонии

Рис. 82

Если в пространственных группах ромбо-бипирамидального класса mmm плоскости всех трех позиций символа топологически одинакoвы, хотя и независимы, то в группах тетрагональной голоэдрии наличие одной оси 4-го порядка, всегда ориентированной вдоль вертикальной координатной оси Z, делает горизонтальную плоскость (теперь уже 1-й позиции символа) топологически отличной от вертикальных плоскостей. Кроме того, топологически различными оказываются вертикальные координатные и диагональные плоскости ввиду их различной ориентировки по отношению к координатным трансляциям элементарной ячейки - и .

Эквивалентность горизонтальных координатных особых направлений в тетрагональных группах обусловлена не только поворотом на 90^o вокруг всегда присутствующей оси 4-го порядка, но и существованием диагональных особых направлений, расположенных к координатным под углом 45^o . При этом ось 4-го порядка можно считать порожденной взаимодействием координатных и диагональных элементов симметрии.

Таким образом, естественен переход от групп ромбической сингонии к их тетрагональным надгруппам с диагональными особыми направлениями. Введение равнонаклонных к координатным особым направлениям исходных ромбических групп либо диагональных плоскостей симметрии ( = m_d), либо поворотных осей симметрии 2-го порядка (2_d) не только автоматически делает координатные направления X и Y эквивалентными, но и повышает порядок вертикальной оси от 2 до 4, т.е. тетрагонализирует ромбические группы по схеме (рис. 82)

Остальные геми- и тетартоэдрические тетрагональные пространственные группы, подчиненные точечным , и 4, легко выводятся в качестве подгрупп более высокосимметричных тетрагональных групп.

В голоэдрических пространственных группах тетрагональной сингонии порождающими удобно считать плоскости симметрии всех трех позиций символа (двух координатных и одной диагональной) и при выводе в качестве исходных подгрупп использовать полученные ранее пространственные группы ромбической голоэдрии, расширение - тетрагонализацию - которых можно осуществить введением диагонального особого направления, представленного либо нормалью к плоскости симметрии (т.е. осью ), либо поворотной осью 2-го порядка, на третью - диагональную - позицию символа. Однако для получения тетрагональных пространственных групп класса основой могут послужить лишь те пространственные группы класса mmm, в которых плоскости симметрии на 1-й и 2-й позициях ромбического символа однотипны:

Fmmm, Fddd.

Рис. 83

Очевидно, что тетрагонализация ромбических групп с С- и F-решеткой Браве приведет к Р- и I-тетрагональным группам соответственно (см. с. 92).

Прежде чем начать вывод голоэдрических групп тетрагональной сингонии, следует выяснить, какие типы плоскостей возможны в качестве диагональных, т.е. на 3-й позиции тетрагонального символа. Взаимодействия координатных трансляционных векторов решетки ( и ) с косо расположенными к ним диагональными плоскостями симметрии обусловят появление новых плоскостей - плоскостей с иным типом трансляционных компонент. Разложив каждый из координатных векторов на две составляющие (=+ ) (рис. 83, а, б), одна из которых () параллельна диагональной плоскости, а другая ( ) перпендикулярна ей, увидим, что первая, влившись в исходный элемент симметрии, создаст производную плоскость скользящего отражения с иной трансляционной компонентой, вторая - перпендикулярная составляющая - перенесет эту плоскость параллельно на половину своей длины (см. с. 50). В результате возникнет чередование диагональных плоскостей m(b) и с(n):

(рис. 83, а),

(рис. 83, б),

что естественно сократит количество выводимых классов вдвое ¹.

Пространственные группы с Р-решеткой

Введение одной (из двух возможных на диагональном направлении) независимой плоскости - m(b) или c(n) - в каждую из восьми приведенных выше ромбических пространственных групп с Р-решеткой (групп с горизонтальной плоскостью m или n) удвоит их количество. При этом результирующая ось 4-го порядка будет поворотной, если каждая из исходных вертикальных плоскостей (координатная и диагональная) имеет вертикальную трансляционную компоненту или обе плоскости будут без них. Если же вектор содержится лишь в одной из взаимодействующих плоскостей, то возникнет винтовая ось 4₂:

Тетрагональная пр. группа	Ромбическая  пр. группа	Тетрагональная  пр. группа

Рис. 84

Тетрагонализация оставшихся трех ромбических групп с горизонтальной плоскостью а - Pmma, Pnna, Pcca - приведет, как и в предыдущем случае, к появлению осей 4 или 4₂. При этом горизонтальная плоскость а, будучи повернутой любой из возникших осей 4-го порядка (4 или 4₂) на 90^o , превратится в плоскость b на этом же уровне вдоль оси Z (рис. 84). Наличие двух взаимно перпендикулярных векторов и - трансляционных составляющих плоскостей а и b - создаст дополнительный суммарный реальный вектор = + , направленный в центр горизонтальной грани элемен-тарной ячейки, т.е. приведет к базоцентрированной тетраго-нальной решетке Браве, а следовательно, к возможности выбора Р-ячейки вдвое меньшего объема. В такой новой тетрагональной Р-ячейке исходные трансляционные составляющие и окажутся ориентированными по диагоналям ее базиса, т.е. станут трансляционными компонентами клиноплоскости n, перпендикулярной главной оси (рис. 84), а координатные плоскости исходных ромбических групп станут диагональными с соответствующими (за счет взаимодействия с координатными трансляциями новой ячейки) чередованиями: m(b) и c(n). Это объединит две ромбические группы Рcca и Рnna в одну тетрагональную - . Заданные же тетрагонализирующие диагональные плоскости m и с в новой ячейке станут координатными. При этом горизонтальные трансляционные составляющие чередующихся с ними плоскостей b и n окажутся равными координатным трансляциям новой Р-ячейки, т.е. указанные плоскости превратятся в плоскости m и с соответственно. В результате тетрагонализация указанных групп ромбической голоэдрии с плоскостями а на 3-й позиции символа к новым тетрагональным группам не приведет:

Тетрагональные  пр. группы		Ромбические  пр. группы	Тетрагональные  пр. группы
в Р-аспекте	в С-аспекте		в С-аспекте	в Р-аспекте

Не получим новых пространственных групп и в результате тетрагонализации указанных выше групп ромбической голоэдрии с С-решеткой, ибо возможность выбора в каждой из них тетрагональной Р-ячейки даст одну из 16 уже выведенных пространственных групп:

Тетрагональные   пр. группы		Ромбические  пр. группы	Тетрагональные  пр. группы
в Р-аспекте	в С-аспекте		в С-аспекте	в Р-аспекте

Все голоэдрические группы с Р-решеткой можно получить и простым перебором плоскостей на трех позициях тетрагонального символа: формальное задание плоскостей четырех типов (a, b, c, n) на 2-й (координатной) позиции символа даст 4 варианта пространственных групп, двух типов плоскостей (m(b) или c(n)) - на 3-й (диагональной) позиции удвоит их количество (4 ^. 2 = 8) и, наконец, задание двух типов плоскостей (m или n) на 1-й (горизонтальной) позиции символа приведет к 16 искомым пространственным группам (8 ^. 2 = 16). Однако при таком "прямом", достаточно механическом выводе теряется порой столь полезная связь между пространственными группами ромбической и тетрагональной сингоний.

Пространственные группы с I-решеткой

В тетрагональных пространственных группах с I-решеткой наличие дополнительного вектора , центрирующего объем ячейки и лежащего в диагональном ее сечении, приводит к тому, что, во-первых, диагональные плоскости не только чередуются - m(b), c(n), но и каждая из них при этом одновременно выполняет две функции: плоскость m оказывается тождественно равной клиноплоскости n, а плоскость b - плоскости с: m n (b c); во-вторых, появляется возможность существования диагональной "алмазной" клиноплоскости d, ибо сечение (110) в I-ячейке центриро вано (!).

Из трех групп ромбической голоэдрии с I-решеткой введением в диагональную позицию символа зеркальной плоскости m, "тянущей" за собой весь спектр плоскостей скользящего отражения - m n (b c), или клиноплоскости d получим 3 тетрагональные I-группы ²:

Рис. 85

Введение зеркальной плоскости m на третью позицию символа целесообразно лишь в группах, производных от ромбических Immm и Ibam, ибо только в этом случае возникнут поворотные оси 4-го порядка, взаимодействие которых с вектором решетки обусловит их чередование с осями 4₂. Появление результирующей оси 4-го порядка, перпендикулярной к плоскости а при введении диагональной плоскости m в пространственную группу Imma, как было показано выше (см. с. 137), сделает возможным выбор примитивной элементарной ячейки и, следовательно, приведет к уже полученной пространственной группе .

Введение "алмазной" клиноплоскости d на диагональную позицию символа ко всем трем исходным I-группам ромбической голоэдрии лишь в одном случае (Imma) приведет к оригинальной тетрагональной группе . Ибо только в ней горизонтальная компонента скольжения () диагональной клиноплоскости d , равная диагонали базисной грани I-ячейки, будет соответствовать одной из компонент, на которые раскладывается вектор плоскости а_z (рис. 85). В результате взаимодействия этих плоскостей (а_z ^. d) возникнут горизонтальные диагональные оси 2-го порядка - поворотные или винтовые, что невозможно в двух других группах (Immm, Ibam), ибо тогда возникли бы оси 2-го порядка с несвойственными им компонентами скольжения в 1/4 и 3/4 диагональной трансляции элементарной ячейки. Кроме того, в результате введения в пр. гр. Immm и Ibam диагональной плоскости d возникли бы винтовые энантиоморфные оси 4₁ (4₃), несовместимые с перпендикулярной к ним зер-кальной плоскостью m, так как, будучи в ней отраженными, они станут нейтральными: 4 или 4₂.

Тетрагонализация двух голоэдрических групп с F-решеткой приведет к четырем группам в стандартном для тетрагональной симметрии I-аспекте (см. с. 92). При этом из пр. гр. Fmmm получим уже выведенные ранее объемно-центрированные пр. гр. и , а из остав-шейся пр. гр. Fddd кроме уже выведенной получим оригинальную новую пр. гр. :

И вновь обращаем внимание на характер производных осей 4-го порядка - 4 (4₂) или 4₁ (4₃) , который будет зависеть от типа порождающих вертикальных плоскостей симметрии (плоскостей 2-й и 3-й позиций символа): = 4, = 4₂ , = 4₁ , = 4₃ . Кроме того, характер полученной оси 4-го порядка укажет и на возможный тип перпендикулярной к ней плоскости симметрии (плоскости 1-й позиции символа); ибо нейтральные оси 4 и 4₂ сочетаются лишь с плоскостями m или n, энантиоморфные оси 4₁ и 4₃ сочетаются с перпендикулярными к ним и чередующимися между собой плоскостями a (b).

В итоге, использовав в качестве тетрагонализаторов диагональные плоскости различного типа и добавив их к 20 группам ромбической голоэдрии, получили также 20 тетрагональных голоэдрических групп. Однако, обратившись к схеме вывода точечных групп - (см. рис. 82), увидим, что этот же результат может быть получен и в том случае, если в роли тетрагонализаторов использовать взаимосвязанные с диагональными плоскостями оси 2-го порядка - 2 или 2₁. Методически же в качестве порождающих удобно воспользоваться плоскостями симметрии.

Вывод пространственных групп тетрагональной гемиэдрии на основе ромбических пространственных групп

При переходе к гемиэдрическим пространственным группам тетрагональной сингонии диагональные плоскости m_d и оси 2-го порядка 2_d (тетрагонализаторы) становятся независимыми друг от друга и, будучи введенными в пространственные группы ромбической гемиэдрии классов mm2 и 222, породят пространственные группы, подчиненные разным классам тетрагональной гемиэдрии (см. рис. 82).

Выписав в качестве исходных подгрупп ромбические гемиморфные пространственные группы с Р-решеткой ³, пригодные для тетрагонализации, т.е. группы с однотипными плоскостями симметрии на первых двух позициях ромбического символа:

Fmm2, Fdd2,

и введя сначала в качестве тетрагонализаторов диагональные плоскости (а таковыми будут m (b) или c (n)), получим 8 тетрагональных групп с Р-решеткой класса 4mm. Задание же на диагональную позицию осей 2-го порядка (на диагональной позиции оси 2 и 2₁ взаимосвязаны!) приведет еще к четырем пространственным группам класса ⁴:

Ромбические исходные пр. группы	Ромбические пр. группы в тетрагональном аспекте	Пространственные группы    тетрагональной гемиэдрии

Тетрагонализация двух базоцентрированных ромбических групп Cmm2 и Ccc2 с последующим переходом к стандартному Р-аспекту (см. с. 136) приведет либо к уже выведенным Р-группам, подчиненным точечной 4mm (при задании на диагональную позицию возможных на ней плоскостей симметрии), либо к двум группам (), подчиненным точечной (при задании диагональных осей 2(2₁)):

Исходные ромбические   пр. группы	Тетрагональные пр. группы
	в С-аспекте	в Р-аспекте

Следует еще раз отметить, что, поскольку при переходе от тетрагонального С- к стандартному Р-аспекту координатные и диагональные особые направления меняются местами, плоскости скользящего отражения b и n теряют свои горизонтальные составляющие (в новой Р-ячейке они становятся реальными координатными трансляциями) и приобретают наименования тех плоскостей, с которыми они чередовались в С-ячейке - m и с соответственно. Это приводит к требуемому в Р-решетке чередованию однотипных координатных плоскостей через полтрансляции.

Введение диагональных плоскостей m(b) или c(n) в группы ромбической осевой гемиэдрии:

Р222, Р222₁, Р2₁2₁2, Р2₁2₁2₁,

С222, С222₁ -

приведет либо к еще не выведенным тетрагональным пространственным группам, подчиненным точечным или (в случае добавления диагональных плоскостей симметрии), либо к пространственным группам класса 422 (при добавлении диагональных осей 2 (2₁)):

Тетрагональные пр. группы	Исходные  ромбические пр. группы	Тетрагональные пр. группы

Следует отметить, что введение диагональной плоскости m или с в ромбические группы с вертикальной винтовой осью 2₁ приведет к чередованию горизонтальных координатных осей (2 или 2₁) через 1/4 трансляции вдоль оси Z, что сократит параметр с элементарной ячейки вдвое и, следовательно, изменит характер вертикальной оси: 2₁(z) --> 2_(z).

Рис. 86

При введении в группы ромбической осевой гемиэдрии диагональных осей 2-го порядка следует помнить, что горизонтальные оси могут либо пересекаться, либо скрещиваться. Поэтому необходимо учитывать, с одной стороны, высоту этих осей вдоль оси Z, с другой - их периодичность через полтрансляции вдоль горизонтальных координатных направлений. Вводимая ось при этом не должна размножать исходный осевой комплекс ромбической группы. В результате будем иметь 4 возможных уровня осей 2 (или 2₁), задаваемых на диагональной позиции: 0, 1/8, 1/4, 3/8 (рис. 86), и соответственно 8 групп тетрагональной осевой гемиэдрии, в которые все 4 ромбические примитивные группы класса 222 будут входить в качестве подгрупп.

Если в исходной ромбической группе вертикальные оси 2-го порядка поворотные, т.е. являются подгруппой осей 4 либо 4₂ , то диагональные оси следует задавать на высотах 0 или . Если же вертикальная ось винтовая (2₁), т.е. служит подгруппой осей 4₁ либо 4₃ , то высоты диагональных осей будут равны или ⁵:

Исходные ромбические пр. группы	Ромбические  пр. группы  в тетрагональном аспекте	Пространственные  группы тетрагональной  гемиэдрии

Тетрагонализация базоцентрированных ромбических групп С222 и С222₁ к новым тетрагональным пространственным группам не приведет:

Пространственные группы с I-решеткой

Из двух ромбических гемиморфных пространственных групп с I-решеткой нетрудно получить 6 объемноцентрированных групп тетрагональной гемиэдрии, добавляя плоскости m n (b v c) или d либо оси симметрии 2(2₁) на третью позицию символа:

Исходные ромбические пр. группы	Ромбические  пр. группы  в тетрагональном аспекте	Пространственные  группы тетрагональной  гемиэдрии
6

Из двух ромбических групп с F-решеткой (Fmm2 и Fdd2) по этой же схеме могут быть получены две новые тетрагональные группы с I-решеткой () помимо четырех уже выведенных на основе ромбических I-групп:

Исходные ромбические пр. группы	Тетрагональные гемиэдрические группы
	в F-аспекте	в I-аспекте

Тетрагонализация оставшихся пространственных групп ромбической осевой гемиэдрии с I- и F-решетками приведет лишь к двум новым тетрагональным I-группам - I422 и I4₁22:

Исходные ромбические пр. группы		Пространственные группы тетрагональной гемиэдрии
в F- и I-аспекте	в тетрагональном F- и I-аспекте

Пространственные группы тетрагональной гемиэдрии, подчиненные точечной , - группы без горизонтальных особых направлений - удобно вывести непосредственно из голоэдрических групп, как их подгруппы, оставив в символе тетрагональной группы лишь элементы симметрии 1-й позиции. В результате будут получены 4 пространственные группы с Р-решеткой:

и две пр. гр. с I-решеткой:

.

Пространственные группы тетрагональной тетартоэдрии

Вывод пространственных групп тетрагональной тетартоэдрии, по существу, сводится к простому перечислению возможных разновидностей осей 4-го порядка при соответствующих решетках: