Теория симметрии кристаллов

Рис. 87

Наиболее просто вычерчиваются графики пространственных групп тетрагональной тетартоэдрии с единственной осью 4-го порядка. Задав перпендикулярно фиксированной оси 4_2(z) трансляционный координатный вектор (например, ), оконтуриваем элементарную ячейку, перенеся оси 4₂ в ее вершины (рис. 87, а). Взаимодействие оси 4₂ с заданным вектором обусловит появление оси того же наименования (4₂) в центре одного из квадратов, построенных на этой трансляции (см. с. 56). При этом в данном случае в силу существования равноправных трансляционных векторов вдоль всех четырех горизонтальных координатных направлений (+ ,+ ) становится безразлично, в каком из построенных на них квадратов (элементарных ячеек) появится результирующая ось 4₂ (рис. 87, б).

Поскольку в группу 4₂ входит операция поворота на 180^o ( = 2), то взаимодействие оси 2_z с координатными горизонтальными трансляциями и приведет к появлению результирующих осей 2 на их серединах (рис. 87, в) (см. с. 54). Таким образом, каждая из осей симметрии (2 и 4₂), входящих в состав пространственной группы Р4₂ , взаимодействует с трансляциями решетки по своему закону. Заметим, однако, что результирующие оси оказываются неэквивалентными исходным, т.е. не связанными с ними трансляционными векторами решетки.

Во всех пространственных группах, подчиненных точечной группе 4, нет позиции без степеней свободы, поэтому при выборе начала координат (выборе точки с максимальной симметрией) предпочтение отдается позициям на осях 4-го порядка даже в том случае, когда эти оси винтовые - 4₁, 4₂ или 4₃.

Пространственная группа

Рис. 88

Приняв за основу построенный график пространственной группы Р4₂ (рис. 88, а), добавим к нему горизонтальную плоскость n. В результате взаимодействия исходной оси 4₂ с перпендикулярной к ней клиноплоскостью n возникнет инверсионная ось 4-го порядка в позиции (см. с. 70 - 71) с особой точкой на высоте (рис. 88, б).

Поворотные оси 2-го порядка, содержащиеся в осях 4₂ и , взаимодействуя с перпендикулярной к ним плоскостью n, дадут центры инверсии, смещенные с точки пересечения оси и плоскости на середины векторов , т.е. в позицию и т.д. (рис. 88, в).

В качестве начала координат в пр. гр. предпочтен, однако, не центр инверсии (с величиной симметрии 2), а более высокосимметричная позиция также без степеней свободы в особой точке инверсионной оси (величина симметрии 4) (рис. 88, г), при этом высоты (координаты z) всех элементов симметрии группы приводятся к выбранному началу координат.

Пространственные группы и

Рис. 89

Построение графика пространственной группы удобно начать с вычерчивания графика ее подгруппы Р4₁. Для этого, размножив исходную ось 4₁(z) координатными трансляциями и тетрагональной элементарной ячейки, получим еще одну ось 4₁ в ее центре как результат взаимодействия 4₁ ^. () (рис. 89, а). Ось 2₁ = , взаимодействуя с координатными трансляциями, переместится на их середины (рис. 89, б).

Рис. 90

После введения горизонтальной плоскости а_z = m_z ^. (где ) ее взаимодействие с винтовой осью 4₁ = 4 ^. (где ), обусловит появление инверси-онной оси . Для определения положения оси и высоты ее особой точки необходимо учитывать не только взаимодействие, но и действие операций симметрии, состав-ляющих перечисленные транс-ляционные элементы симмет-рии, друг на друга [27]. Так, вектор - трансля-ционная компонента винтовой оси 4₁ (рис. 90), будучи отраженным в плоскости m_z мнимой составляющей плос-кости скользящего отражения a_z, перпендикулярной оси 4₁, займет энантиоморфное положение () , и именно этот вектор (а не исходный +) будет взаимодействовать с инверсионной осью , возникшей в результате поворота на 90^o и отражения в горизонтальной плоскости. Особая точка указанной инверсионной оси окажется на высоте ¹. Дальнейшая судьба инверсионной оси с особой точкой на высоте будет определяться ее взаимодействием с горизонтальной трансляционной компонентой плоскости а_z: окончательная ее позиция (см. рис. 89, в) - в центре квадрата, построенного на векторе в сторону вращения оси 4₁ (см. с. 56). С другой стороны, на плоскость а_z будет действовать перпендикулярная к ней ось 4₁, которая, развернув вектор на 90^o и подняв его вдоль оси Z на , превратит ее в плоскость b_z (см. рис. 89, г). Таким образом, плоскость а_z будет чередоваться с плоскостью b_z, что обусловит появление дополнительного трансляционного вектора в центр объема элементарной ячейки - . В итоге задание лишь двух элементов симметрии - 4₁ и а - приводит к объемноцентрированной решетке Браве и в конечном счете к единственно возможной пространственной группе

В результате взаимодействия центрирующего объем вектора (где ) и исходной оси 4₁ = 4 ^.(где ) произойдет сложение их вертикальных составляющих . Это изменит характер винтовой оси 4₁ на 4₃. Последняя будет перенесена в центр квадрата, построенного на горизонтальной составляющей вектора в направлении вращения оси 4₁ (см. с. 56), в результате чего ось 4₃ окажется в позиции (см. рис. 89, г). При этом ось 2₁ вольется в качестве составляющей в полученную ось 4₃. Взаимодействие инверсионной оси с особой точкой на высоте с вектором обусловит появление еще одной оси в позиции с особой точкой на высоте (см.рис. 89, г). Центры инверсии, возникшие как результат взаимодействия осей 2-го порядка с перпендикулярными плоскостями симметрии, окажутся в позициях и (см. рис. 89, д).

Начало координат выбираем в особой точке инверсионной оси, например в точке с координатами , после чего меняем на графике высоты всех центров инверсии и особых точек, понижая их на (см. рис. 89, е).

Рис. 91

В качестве порождающих возьмем пересекающиеся под углом 45^o координатную винтовую ось 2_1(x) и диагональную плоскость скользящего отражения с_d (рис. 91, а). Рассмотрим взаимодействие и действие друг на друга симметрических операций, составляющих заданные элементы симметрии: 2₁(x) ^. с_d = 2_x ^{. .} m_d ^. (где , ).

Взаимодействие 2_x ^.m_d приведет к появлению инверсионной оси , особая точка которой вектором сместится с точки пересечения оси и плоскости на его середину, т.е. на высоту . Однако положение оси будет зависеть не от исходного вектора , а от его энантиоморфного аналога, полученного отражением исходного вектора ₊ в плоскости m_d. В результате ось переместится в центр квадрата, построенного на векторе в направлении, соответствующем очередности проведенных симметрических операций, т.е. от первого элемента симметрии 2_1(x) ко второму, c_d , и займет позицию () (рис. 91, а). Изменение очередности проводимых симметрических операций на обратную () приведет к возникновению другой оси в центре квадрата, построенного на исходном векторе . Однако особая точка инверсионной оси в этом случае будет смещена на уже не вектором , а его аналогом , полученным поворотом на 180^o исходного вектора вокруг поворотной составляющей оси 2_1(x) (рис. 91, а). Внеся координатными трансляциями полученные оси в исходную элементарную ячейку (рис. 91, б) и размножив ими заданные плоскости с и ось 2₁(x), получим весь комплекс горизонтальных осей 2-го порядка, взаимодействие которых с координатными векторами , и обусловит их периодичность через половины указанных трансляций.

Оси 2_z = , также взаимодействуя с векторами и , сместятся на их середины, т.е. в позиции и (рис. 91, в), что наглядно подтверждается результатом взаимодействия взаимно перпендикулярных плоскостей с.

Выбор начала координат в пространственной группе в единственной позиции без степеней свободы - особой точке инверсионной оси - не вызывает сомнений. Соответствующее приведение высот (по оси Z) всех элементов симметрии к выбранному началу координат, а также нанесение клиноплоскостей n, чередующихся с диагональными плоскостями с (за счет взаимодействия с = ), приведет к окончательному графику данной пространственной группы (рис. 91, г).

Рис. 92

Посчитав в качестве порождающих координатную (m_y) и диагональную (d) плоскости и нанеся их на график, рассмотрим результат их взаимодействия. Для этого выпишем в определенной последовательности все симметрические операции, составляющие заданные элементы симметрии: (где , , D - диагональ грани (001) элементарной ячейки, ). Проведенные последовательно две операции отражения в плоскостях m_x и m_d, расположенных под углом 45^o друг к другу, дадут ось 4-го порядка, характер которой задает вертикальная составляющая плоскости d (), т.е. возникнет ось 4₁ с величиной скольжения . На положение результирующей оси 4₁ повлияет ее взаимодействие с перпендикулярной к ней горизонтальной трансляционной составляющей () клиноплоскости d: она будет перенесена с линии пересечения исходных плоскостей в центр квадрата, построенного на в направлении очередности проводимых операций - от плоскости m_y к плоскости d, и займет в итоге положение (рис. 92, а).

Последовательность проведения операций симметрии, обратная исходной (), скажется на ориентации вектора , который, будучи отраженным в записанной вслед за ним плоскости m_y, займет положение, энантиоморфное исходному (). Этот отраженный вектор обусловит винтовой характер и положение порожденной оси 4₃ в позиции (рис. 92, а), что подтверждается наличием плоскости m_y, связывающей две энантиоморфные оси 4₁ и 4₃ .

Результат не изменится и в том случае, если вместо вектора + плоскости d использовать вектор - , направленный в противоположную сторону (см. с. 63). Полученное сочетание энантиоморфных осей 4₁ и 4₃ , так же как и присутствие диагональной клиноплоскости d, подтверждает объемно-центрированный тип решетки Браве.

Размножение осей 4₁ и 4₃ координатными трансляциями и и их взаимодействие с ними приведут к появлению в центрах квадратов, построенных на этих трансляциях, осей 4-го порядка такого же типа (рис. 92, б).

Следующим шагом в построении графика заданной пространственной группы может быть размножение исходных плоскостей симметрии m и d осями 4₁ и 4₃ (рис. 92, в), в результате чего получим обязательную периодичность плоскостей одного типа через половины трансляций, перпендикулярных к ним. Взаимодействие координатных плоскостей m с косо расположенным к ним вектором , обусловит чередование m(n). По линии пересечения взаимно перпендикулярных плоскостей m_x и m_y возникнут поворотные оси 2-го порядка, что хорошо согласуется с расположением стрелок клиноплоскостей d, направленных навстречу друг другу в квадратах, центрированных поворотными осями 2, и в одну сторону по периметрам квадратов, центрированных осями 2₁ = (см. с. 129).

Таким образом, на промежуточной стадии построения графика пр. гр. оказался построенным график ее гемиморфной подгруппы I4₁md (рис. 92, в), начало координат в которой выбирается в моновариантной позиции mm2.

Завершаем построение вводом в полученный график пр. гр. I4₁md горизонтальной плоскости a_z, взаимодействие которой с осями 4₁ и 4₃ , как было показано выше (см. с. 154), обусловит появление в позициях, занятых полученными ранее осями 2_z ( и ), инверсионных осей с особыми точками на высотах и соответственно, а также центров инверсии (в позициях 000 и ) (рис. 92, г).

Взаимодействие горизонтальных плоскостей a(b) с вертикальными плоскостями обеих позиций (m и d) даст недостающий комплекс горизонтальных осей 2-го порядка. Характер и положение диагональных осей 2-го порядка легко определить как результат взаимодействий координатных плоскостей m с инверсионными осями , высоты особых точек которых укажут на высоты диагональных поворотных осей 2-го порядка. Возникновение диагональных винтовых осей 2₁ обязано как взаимодействию диагональных осей 2 с координатными трансляциями решетки, так и присутствию вектора , взаимодействующему с полученными ранее диагональными осями.

Начало координат, естественно, выбирается в самой высокосимметричной и "неподвижной" точке (без степеней свободы): в комплексе , к уровню которого затем и приводят высоты остальных элементов симметрии вычерченной пространственной группы (рис. 92, д).

Особо следует обратить внимание на получение винтовых осей 4₁ и 4₃ на графиках родственных пространственных групп I4₁cd и , где обе порождающие плоскости симметрии c и d содержат вертикальные трансляционные компоненты и соответственно. Скользящие компоненты результирующих винтовых осей 4-го порядка будут определяться знаком (направлением) этих трансляционных компонент: и . При этом в пространственных группах I4₁cd и позиции осей 4₁ и 4₃ меняются местами по сравнению с их расположением на графиках пр. гр. I4₁md и (рис. 92, г, д), т.е. направление "лопастей" винтовых осей оказывается противоположным направлению стрелок в обозначениях клиноплоскостей d, указывающих на увеличение их вертикальной трансляционной составляющей (см. с. 129).