Теория симметрии кристаллов

Рис. 139

Вывод всех точечных групп антисимметрии, как было показано выше, можно осуществить двумя путями: либо к точечным группам симметрии, принятым за классические подгруппы, добавить удваивающие элементы антисимметрии, либо в каждой из 32 точечных групп рассмотреть все возможные комбинации простых элементов и элементов антисимметрии.

В качестве примера рассмотрим вывод всех групп антисимметрии, подчиненных (изоморфных, см. с. 29) точечным группам mmm, 222, , , , , , 23 и .

Рис. 140

mmm = - группа 8-го порядка с тремя независимыми плоскостями симметрии (m_x ^. m_y = 2_z , m_z независима) создает возможность вывода групп антисимметрии двумя различными путями.

1. Выписав подгруппы 4-го порядка (в два раза меньшего, чем порядок рассматриваемой группы): 222, mm2 и , добавляем к каждой из них какой-либо удваивающий элемент антисимметрии: , m' или 2'. При этом количество групп антисимметрии будет соответствовать количеству выделенных классических подгрупп (см. цветную вставку, рис. 139):

2. К тому же результату можно прийти, "зацветив" по-разному порождающие элементы симметрии исходной точечной группы, приняв за таковые три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии. При этом элементом антисимметрии может быть одна, две или все три исходные плоскости. И поскольку все три плоскости равноправны, получим три варианта групп антисимметрии (рис. 139):

m' mm = (группа с цветным центром инверсии и

классической подгруппой mm2(= 2mm));

m' m' m = (центр инверсии простой, классическая

подгруппа );

m' m' m' = (центр инверсии цветной, классическая

подгруппа 222).

Рис. 141

Развернутые символы выведенных групп антисимметрии 8-го порядка демонстрируют равное число в них операций антисимметрии и классической симметрии. Так, для группы четырем операциям антисимметрии - m_x', m_y', m_z', - соответствуют четыре классические операции - 2_x , 2_y , 2_z , 1, образующие классическую подгруппу в два раза меньшего порядка по сравнению с исходной группой антисимметрии.

Рис. 142

222 - группа 4-го порядка с классической подгруппой вдвое меньшего порядка (2). Поскольку все оси 2-го порядка в этой группе взаимосвязаны (любые две порождают третью) и топологически неразличимы, то единственный вариант группы антисимметрии - 22' 2' (= 2' 2' 2 = 2' 22' ).

- группа 4-го порядка, каждая из подгрупп 2-го порядка которой (2, m, ) может быть "зацвечена" или стать классической подгруппой. Отсюда имеем три варианта групп антисимметрии:

m ^. 2' = m ^. = , 2 ^.  m' = 2 ^. = , ^.  m' = ^. 2' = . Однако поскольку все члены этой группы представлены разными элементами симметрии, то, несмотря на их взаимосвязь, следует рассмотреть все три варианта "зацвечивания" элементов симметрии.

- подгруппа 8-го порядка (4¹, 4² = 2, 4³ = 4^-1, 4⁴ = 1, , , m, ) (рис. 140). Выписав подгруппы 4-го порядка: 4(1, 4¹, 4² = 2, 4³), (1, , , 2), (1, , m, 2) - и добавив к ним удваивающие антиоперации (m', , 4'(mod2) или (mod2)), получим 3 группы антисимметрии:

Рис. 143

Путем поочередного "зацвечивания" порождающих элементов симметрии получим те же три группы антисимметрии:

- группа 16-го порядка. Взаимодействие подгрупп 8-го порядка - 422, 4mm, , , mmm(!) - c удваивающими операциями антисимметрии приведет к следующим пяти группам симметрии (см. цветную вставку, рис. 141):

Рис. 144

422 ? m'_z (m'_x, m'_d) =

(взаимодействие осевого комплекса 422 с антиплоскостью m' любой позиции символа приведет к появлению цветного центра симметрии , а следовательно, и остальных элементов антисимметрии тетрагональной голоэдрии; если удваивающей операцией считать антиинверсию , то придем к тому же результату); не следует забывать и удваивающие операции антисимметрии ;

Приняв за порождающие элементы плоскости симметрии трех разных позиций символа, рассмотрим все различные варианты их "зацвечивания" (рис. 141). "Зацветив" только плоскость 1-й позиции - горизонтальную плоскость, получим координатные и диагональные оси антисимметрии 2' : . Если же элементом антисимметрии считать одну из плоскостей 2-й или 3-й позиции символа, то возникнут одинаковые группы антисимметрии, различающиеся лишь установкой (поменяются координатные и диагональные направления): = .

<Зацвечивание> двух иcходных плоскостей симметрии (горизонтальной и одной из вертикальных или только плоскостей 2-й и 3-й позиций одновременно) приведет к двум группам антисимметрии: = и . И наконец, "цветные" плоскости всех трех позиций дадут группу .

- группа 12-го порядка. Подгруппы 6-го порядка: , 32, 3m, взаимодействуя с элементами антисимметрии 2-го порядка (' , m', 2'), дадут три группы антисимметрии:

3m ^. = 3m ^. 2' =

(обратим внимание на то, что поскольку ось 3 не может быть элементом антисимметрии (см. рис. 137), штрих относится лишь к центру инверсии);

32 ^. = 32^. m' = ;

^.  m' = ^.  2' = .

- группа 12-го порядка. Подгруппы 6-го порядка: 32, 3m, . Удваивающие антиоперации: m', 2'. Изоморфные группы антисимметрии (см. цветную вставку, рис. 142) ¹⁾:

23 - группа 12-го порядка. Не имеет подгрупп порядка 6, поэтому изоморфных ей групп антисимметрии нет. Кажущееся возможным "зацвечивание" осей 2-го порядка приведет лишь к серой группе 23^. 1'.

- группа 48-го порядка. Подгруппы 24-го порядка: 432, . Удваивающие антиоперации: ', 2', m', 4' (mod2), (mod2). Группы антисимметрии (см. цветную вставку, рис. 143):

Итак, используя рассмотренные пути вывода шубниковских точечных групп симметрии, можно на основе 32 классических полярных групп (введением операции антитождества 1' ) получить 32 нейтральные (серые) группы и 58 групп смешанной полярности - собственно групп антисимметрии, т.е. всего 122 группы (табл. 5), с помощью которых можно описать симметрию конечных фигур и объектов, обладающих какими-либо прямо противоположными негеометрическими свойствами (рис. 144). В частности, группы антисимметрии используются в кристаллографической практике при выводе законов двойникования, описания симметрии двойников, электрических, магнитных (см. с. 20) и других свойств кристаллов.