Теория симметрии кристаллов

Рис. 145

В 1957 г. В.А.Мокиевским [41, 42] была выдвинута идея использования двухцветной (черно-белой) симметрии для описания двойников кристаллов, получившая впоследствии развитие в работах Х.Кюрьена, Ле Корра [59, 60, 68] и др. Была предпринята попытка классификации двойников и вывода возможных двойниковых групп симметрии для 32 кристаллографических классов, а следовательно, и законов двойникования кристаллов, представляющих определенный интерес для установления генезиса минералов.

Вывод точечных групп симметрии двойников основан на выделении всех подгрупп каждого класса симметрии индивида и нахождении для каждой из них надгруппы антисимметрии. В двойниковых группах используются обозначения, принятые для элементов антисимметрии. При этом "штрих" следует рассматривать как условную маркировку двойникующих классических элементов симметрии (элементов связи между индивидами):

Взаимодействие двойникующих элементов симметрии с классическими элементами группы симметрии индивида порождает двойниковую группу симметрии - одну из рассмотренных выше 58 кристаллографических групп антисимметрии (групп смешанной полярности). Однако в образующуюся двойниковую группу входят лишь те элементы симметрии монокристалла, взаимодействие которых с двойникующими элементами симметрии приводит к кристаллографическому классу.

Например, если в классическую группу симметрии тетрагонального кристалла 422 (порядок группы 8) ввести двойникующую ось 2', занимающую позицию с координатами = 90^o и = 45^o (см.цветную вставку, рис. 145, а), то кристаллографически совместимыми с ней окажутся все элементы симметрии группы: 4_z (угол между 4_z и 2' равен 45^o ), 2_x ( угол между 2_x и 2' равен 45^o ), 2_у (угол между 2_у и 2' равен 90^o ) и диагональная ось 2_d (угол между 2_d и 2' равен 60^o ). Взаимодействие этих элементов симметрии, образующих так называемую сохранившуюся подгруппу двойника, с двойникующей осью 2', казалось бы, приведет к возникновению осей 3-го () и 4-го () порядков,размножение которых друг другом даст полную осевую кубическую группу 432. Однако порядок этой группы втрое (!) превысит (8 ^. 3 = 24) порядок исходной тетрагональной группы 422 (рис. 145, г). Таким образом, один лишь анализ порядков исходной и возникшей групп симметрии отвергает возможность подобного двойникования, ибо введение двойникующего элемента симметрии должно удваивать порядок исходной кристаллографически совместимой с ним (сохранившейся) подгруппы. Кроме того, возникшие оси 3-го порядка являются результатом взаимодействия как однородных (), так и разнородных () осей 2-го порядка, что приводит к возникновению нейтральных элементов симметрии, т.е. к серой группе (48-го порядка!), а не к группе смешанной полярности. В результате в сохранившуюся подгруппу войдут лишь те элементы симметрии исходной группы 422, взаимодействие которых с двойникующими элементами симметрии не приведет к кубической группе симметрии, а именно 2_х , 2_y и 2_z (входящая в ось 4_z) (рис. 145, б).

Взаимодействие элементов симметрии сохранившейся подгруппы 222 с двойниковой осью 2' (2_х ^. 2' = 2_z ^. 2' = 4_у') приведет к двойниковой группе 4' 22' = 4'_у2_х=у2'(рис. 145, в). Заметим, что порядок (8) получившейся двойниковой группы 4' 22' в два раза превышает порядок (4) сохранившейся классической подгруппы 222 вследствие введения в последнюю двойникующего элемента симметрии (2').

Если в качестве исходного взять класс симметрии С₄ и при том же положении двойникующей оси 2' сохранить в качестве классической подгруппы ось 2_z в составе оси 4_z , то снова возникнет двойникующая группа 4' 22' = 4'_у2_z2'. Однако порядок (8) этой двойниковой группы окажется не в два, а в четыре раза выше порядка (2) сохранившейся подгруппы. Следовательно, в этом случае ось 2_z не входит в двойниковую группу, т.е. сохраняется лишь подгруппа 1 (двойниковая - 2' ).

Исследуя в каждой группе симметрии различные позиции двойникующих элементов симметрии, можно вывести все законы двойникования. При этом целесообразно пользоваться стереографическими проекциями.