Теория симметрии кристаллов

Шубниковские группы симметрии, подчиненные группе 222, можно вывести, воспользовавшись рассмотренным выше путем, предложенным Н.В.Беловым [6, 11]: комбинацией всех ромбических решеток Браве (простых и цветных) со всеми возможными сочетаниями цветных и нецветных элементов симметрии.

Девять классических (федоровских) пространственных групп симметрии - P222, P2₁ 2₁ 2₁ ,P222₁ ,P2₁2₁2, C222, C222₁ , I222, I2₁2₁2₁ , F222 - обслуживаются семью различными цветными решетками: P'_s(=P'_a , P'_b , P'_c), P'_A(=P'_B , P'_C), P'_I , C'_c,I , C'_A,B , I'_c,C , F'_s . Не перечисляя тривиально получающиеся 9 серых групп и 13 групп антисимметрии с классическими нецветными решетками, обратимся к выводу групп антисимметрии с перечисленными выше цветными решетками. Из четырех примитивных групп этого класса только в двух их них - P222 и P2₁2₁2₁ - все координатные направления топологически идентичны и ввод цветной трансляции вдоль любого ребра ячейки или в центр одной пары граней для каждой из них приведет к одной соответствующей группе антисимметрии. Цветной вектор, центрирующий объем, обслужит все 4 классические группы (табл. 9). Для групп P222₁ и P2₁2₁2 центрировка ребер или одной пары граней возможна двумя различными способами. Поскольку два горизонтальных направления равноправны, но отличаются от третьего, для каждой классической группы получим по две цветных с соответствующей цветной решеткой:

P222₁ --> P'_a222₁ и P'_c 222₁ (= P'_a2₁22),

P'_A222₁ (= P'_C2₁22) и P'_C222₁ ,

P2₁2₁2 --> P'_a2₁2₁2 и P'_c2₁2₁2 (= P'_a22₁2₁),

P'_A2₁2₁2 (= P'_C22₁2₁) и P'_C2₁2₁2.

То же самое произойдет и для каждой из двух возможных базоцентрированных групп C222 и C222₁ , где цветная трансляция вдоль ребер ячейки занимает два принципиально различных положения относительно вектора :

C222 --> C'_c,I 222 и C'_a,b222,

C222₁ --> C'_c,I 222₁ и C'_a,I 222₁.

Цветная центрировка грани A влечет за собой за счет вектора и центрировку грани B, что даст еще две группы антисимметрии: C'_A,B222 и

C'_A,B 222₁. Два еще не рассмотренных типа решеток - I'_c,C и F'_s - реализуются в трех группах антисимметрии: I'_c,C 222, I'_c,C 2₁2₁2 и F'_s 222.

В итоге получим 56 шубниковских групп класса D₂, включающих: 9 полярных федоровских, 9 нейтральных (серых), 25 групп с цветной решеткой, 13 - с простой решеткой, но с цветными подрешеточными элементами симметрии.

Прием вывода групп антисимметрии, подчиненных остальным федоровским группам, не отличается от рассмотренного выше, и, используя сформулированные некоторые общие положения вывода, нетрудно перечислить все (1651) шубниковские группы.