Теория симметрии кристаллов

Переход от координат точек в старой исходной координатной системе к координатам этих же точек в новой системе удобно рассмотреть графически, обратившись к рис. 209. Если некоторая точка (узел) К с координатами mnp в старой координатной системе имеет в новой координаты MNP, то вектор , идущий из начала координат в точку К, можно выразить как векторную сумму старых или новых единичных векторов:

(7)

Обратившись к системе уравнений, где векторы старой координатной системы представлены как векторные суммы новой:

(8)

и подставив значения векторов , , в уравнение (7), получим

Отсюда следует, что

Оказалось, что матрица, отражающая прямое преобразование координат точек в старой координатной системе к координатам этих же точек в новой системе , не что иное, как транспонированная обратная матрица , т.е. матрица, в которой строки и столбцы поменялись местами. Такой закон преобразования называется контравариантным.

Таким образом, для получения координат точки в новом репере следует одностолбцовую матрицу из ее старых координат умножить на обратную транспонированную матрицу (М- ¹)' :

¹.

Обратившись к рис. 209, увидим, что координаты точки К в старой координатной системе m = 4, n = 6, p = 0. Для вычисления координат MNP этой точки в новой системе следует матрицу не прямого, а обратного преобразования от новой координатной системы к старой транспонировать: и, умножив одностолбцовую матрицу из старых координат на обратную транспонированную матрицу, рассчитать их значения:

Очевидно, что для обратного преобразования координат точек (от новых к старым) следует пользоваться транспонированной прямой матрицей (М)' :

.

Контравариантный закон справедлив и для преобразования символов ребер кристаллов, ибо их индексы r, s, t не что иное, как относительные координаты m, n, p точки расположенной на ребре. Таким образом, для перехода от символа некоторого ребра [rst], рассчитанного в старой координатной системе, к символу этого же ребра [RST] в новой системе следует, как и при определении координат точек, выразить вектор от начала координат до точки, взятой на этом ребре, как векторные суммы старых и новых единичных векторов:

и, воспользовавшись системой уравнений (8), по вышеприведенной схеме составить матрицу преобразования индексов ребер:

И далее получить искомый результат:

и

В итоге, используя ковариантный или контравариантный закон преобразования координатных осей, плоскостей, ребер, координат точек и т.п., можно решить многие практические кристаллографические задачи. Однако при их решении следует помнить, что символы каких-либо направлений - ребер, координатных осей, а также плоскостей - граней или атомных сеток - представляют собой отношения целых взаимно простых чисел. Поэтому, когда мы говорим, что строки матриц прямого (М) и обратного (М- ¹) преобразований выражают символы новых координатных осей в старой системе координат либо, наоборот, старых - в новой, следует иметь в виду, что в качестве индексов могут оказаться и дробные числа. И для того, чтобы получить миллеровские стандартные символы указанных осей (символы из целочисленных индексов), следует исключить из них общий множитель (n). Так, обратная матрица (М^-1)_{нов.--> стар.} в приведенном на с. 356 примере в качестве своих членов содержит дроби:

В первой строке этой матрицы записаны координаты ближайшего к началу координат узла (точки), расположенного на старой координатной оси X, отношения которых соответствуют символу старой оси X в новой координатной системе: . После изъятия общего множителя n₁=1/5 стандартная запись этого символа будет . Вторая строка матрицы соответствует символу старой оси Y: ; Третья строка матрицы указывает в данном случае на неизменность оси Z: . Однако умножение матрицы прямого преобразования - для нашего случая на обратную матрицу, составленную из "приглаженных" индексов , не даст, как ожидалось (см. с. 356), единичную матрицу:

И лишь введение в обратную матрицу изъятых при получении символов осей общих множителей n₁ и n₂ даст ожидаемый результат:

Поэтому, решая конкретные задачи, например составляя матрицу преобразования осей:

по известным "приглаженным" символам [r₁ s₁ t₁ ], [r₂ s₂ t₂ ] и [r₃ s₃ t₃ ] новых координатных осей X' , Y' и Z' соответственно, следует для каждого из них ввести общий множитель (n), в общем случае n 1:

u_A : v_A : w_A = r₁ : s₁ : t₁ = n₁r₁ : n₁s₁ : n₁t₁ = [r₁s₁t₁],

u_B : v_B : w_B = r₂ : s₂ : t₂ = n₂r₂ : n₂s₂ : n₂t₂ = [r₂s₂t₂],

u_C : v_C : w_C = r₃ : s₃ : t₃ = n₃r₃ : n₃s₃ : n₃t₃ = [r₃s₃t₃].

В результате матрица, составленная по старым символам новых координатных осей с учетом общих множителей, будет иметь следующий вид:

Для определения общих множителей (n) следует воспользоваться соотношениями символов некоторой грани (плоскости), рассчитанных в старой (hkl) и новой (HKL) координатных системах.

Воспользовавшись уравнением (6), запишем:

Отсюда (9)

Аналогично могут быть получены значения и остальных общих множителей: и [28 ].

Однако и в этом случае при определении значений общих множителей (n₁,n₂,n₃) следует пользоваться не приглаженными символами (HKL) исходной грани, а символами, содержащими общий множитель (p): (E ^. p F ^. p G ^. p), где H = E ^. p, K = F ^. p, L = G ^. p. В противном случае будет получен неверный результат. Так, каждая строка матрицы прямого перехода от старой координатной системы к новой (см. с. 354) представляет символ соответствующей новой координатной оси в старой системе: X' = [320], Y' = [140], Z' = [001]. В данном случае общие множители в символах всех осей равны 1. Если же общие множители неизвестны, то они могут быть найдены из соотношения старого (hkl) и нового (HKL) символов некоторой грани. Пусть старый символ (hkl) некоторой грани будет (212). Найдем ее новый символ, воспользовавшись матрицей прямого преобразования (см. (2) ):

Полученный символ содержит общий множитель p = 2, на который обычно и сокращают индексы символа грани. Таким образом, окончательный символ исходной грани будет (431). Далее, пользуясь формулами (9), можно рассчитать значения общих множителей n . Однако, для того чтобы получить верный результат, в указанную формулу следует подставлять не сокращенные индексы (431), а индексы, содержащие общий множитель p, т.е. (862). Поэтому, оперируя символами граней, нужно быть уверенным, что индексы их символов содержат этот общий множитель (p):