Лаборатория эспериментальной и технической петрологии МГУ,
к. A-607, тел. 939-20-40

Вычисления сопровождают работу экспериментатора. Точная наука начинается тогда, когда мы начинаем что-то рассчитывать. Приводимыми ниже простыми приемами вычислений необходимо владеть. Разумеется, они не исчерпывают всех возможных математических методов, полезных при экспериментальной работе. Их число все время растет, чему способствует широкое распространение компьютеров, значительно облегчивших трудоемкие вычисления.

Имеется несколько ситуаций, когда расчеты удобно вести с помощью определителей (детерминант). Наиболее важны следующие две. (1) Необходимость составления уравнения реакции между минералами, т.е. подбора коэффициентов при формулах минералов известного состава таким образом, чтобы содержание компонентов в правой и левой части уравнения было одинаковым. Расчет уравнений применяется как до опытов в качестве прогнозного, так и при обработке результатов. (2) Расчет навесок исходных для опыта веществ, если они имеют сложный состав. С помощью определителей возможно также предсказание и контроль качественного и количественного соотношения фаз по валовому составу системы, а также решение других специфических вопросов.

Во всех указанных случаях (кроме тех, когда составы фаз просты и коэффициенты легко получаются простым подбором) уравнение реакции получают решением определителя. Расчет понятен из простейшего случая двухкомпонентной системы. Пусть заданы составы M, А и В (это могут быть составы фаз, исходных веществ или валовые составы системы), состоящие из одних тех же компонентов a и b. M = a_Ma + b_Mb ; A = a_Aa + b_Ab ; B = a_Ba + b_Bb. Содержание компонента в соответствующей фазе обозначается подстрочным индексом. Составы связаны между собой уравнением реакции - многочленом, равным нулю, который символически изображается квадратной таблицей (определителем). Раскрытие определителя проводится по членам любой строки или любого столбца. Каждый член выбранной строки или столбца умножается на определитель более низкого порядка, который получается из данного посредством вычеркивания из него строки и столбца данного члена. Знаки берутся попеременно. Например:

Приведем некоторые свойства определителей , позволяющие упростить их решение.

Если все члены одной строки (столбца) равны нулю, то и весь определитель равен нулю.

Умножение всех членов одной строки (столбца) на какую-либо величину равносильно умножению на эту величину всего определителя.Величина определителя не изменится , если из членов одной строки (столбца) вычесть соответственные члены другой строки (столбца), умноженные на один и тот же множитель.

Рассмотрим конкретные примеры.

1. В системе SiO₂-Al₂O₃-MgO-CaO уравняем реакцию образования парагенезиса со шпинелью. Составляем определитель из возможных минералов.

Раскрывая определитель, в конечном итоге получаем искомое уравнение реакции:

2. Задача - получить смесь (М), соответствующую составу гапплогранитной системы в температурном минимуме при PH₂O = 1 кбар, из природных кварца (Q), альбита (Ab) и микроклина (Mi) известного состава. Составляем определитель с содержаниями породообразующих оксидов, выраженных в весовых %.

Учитывая, что в щелочные полевые шпаты глинозем входит в количествах, эквивалентных оксидам щелочных металлов, решаем определитель по содержаниям SiO₂, Na₂O и K₂O:184,6 M = 58,2 Ab + 55,8 Mi + 70,7 Q.

Для приготовления 1 г смеси необходимо:

M = 0,315 Ab + 0,302 Mi + 0,382 Q.

Баланс глинозема сходится до десятых долей %.

3. В результате опыта произошло частичное плавление глиноземистого (гранат-хлорит-кварц-мусковитового) сланца (Sl). Кроме главных фаз - стекла (Gl) и кордиерита (Crd) - имеется небольшое количество еще одной кристаллической фазы, размеры зерен которой слишком малы, чтобы сделать микрозондовый анализ, а содержание - чтобы ее пики проявились на рентгенограмме. Судя по составу сланца и условиям эксперимента, можно предполагать образование силлиманита (Sil) или частичное сохранение имеющегося в сланце альмандинового граната (Grt). Составляем и решаем соответствующие определители, в которые закладывам известные составы минералов и сланца. В расчете объединяем Fe и Mg в один компонент, поэтому составы выражаем в атомных %.

При расчете по этим двум вариантам получаются следующие уравнения:

1)Sl + 0,004 Grt = 0,593 Gl + 0,411 Crd ; 2)Sl = 0,595 Gl + 0,402 Crd + 0,003 Sil .

Очевидно, что первый вариант абсурден. Вероятно, в опыте образовалось незначительное количество силлиманита.

4. При расчете реакций на границах зон метасоматической колонки иногда закладывается сохранение объема при замещении. В таком случае в определитель вводится столбец с мольными объемами минералов, а валовой состав породы приводится в расчете на единицу объема.

Обращаем внимание, что в зависимости от задачи состав фаз и валовой состав системы в приведенных примерах выражался в разных единицах.